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Cartes mémoire d'électrocinétique | Classes préparatoires scientifiques

 
Électrocinétique dans l'ARQS
Définir l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS).
On appelle ARQS, l'approximation qui consiste à négliger le temps de propagation de l'onde électromagnétique devant le temps caractéristique de cette onde (sa période par exemple).
Tous les points du circuit sont donc en phase.
Définir les termes dipôles, branche, maille, et nœud.
On appelle :
  • dipôle : tout composant électrique connecté au reste du circuit par deux bornes,
  • branche : un ensemble de dipôles montés bout à bout,
  • maille : ensemble de branches formant une boucle fermée,
  • nœud : point de jonction entre plusieurs dipôles.
Définir les termes montage en série et montage en parallèle.
Un ensemble de dipôles est monté en série, s'il est parcouru par la même intensité.
Un ensemble de dipôles est monté en parallèle, s'il est soumis à la même tension.
Définir le courant électrique $i(t)$ et le relier à la charge $q(t)$.
On appelle courant électrique le déplacement ordonné d’un ensemble de particules chargées, appelées porteurs de charge. Le courant électrique s'exprime en chaque point du circuit et vérifie : $$i=\dfrac{\text{d}q}{\text{d}t}$$
Rappeler la loi des nœuds (première loi de Kirchoff) et sa condition d'application.
Dans le cadre de l'ARQS, la somme algébrique des courants arrivant sur un nœud est nulle.
Définir la tension $U_{AB}$ entre les points $A$ et $B$.
La tension $U_{AB}$ est la différence de potentiel électrique des points $A$ et $B$ et s'exprime en $\text{V}$. $$U_{AB}=V(A)-V(B)$$
Rappeler la loi des mailles (seconde loi de Kirchoff).
Dans une maille, la somme algébrique des tensions est nulle.
Rappeler la loi de comportement d'un générateur idéal de courant et donner sa représentation symnbolique.
En convention générateur, la loi de comportement d'un générateur idéal de courant est : $$\forall u,~i(t)=I_0$$ Sa représentation symbolique est donnée ci-dessous :
Générateur idéal de courant
Rappeler la loi de comportement d'un générateur idéal de tension et donner sa représentation symbolique.
En convention générateur, la loi de comportement d'un générateur idéal de tension est : $$\forall i,~u(t)=U_0$$ Sa représentation symbolique est donnée ci-dessous :
Générateur idéal de tension
Rappeler la loi de comportement d'un résistor de résistance $R$ représenté en convention récepteur, rappeler l'expression de la puissance dissipée à ses bornes et donner sa représentation symbolique.
En convention récepteur, et avec les notations du schéma, on peut écrire : $$u(t)=Ri(t)$$ La puissance dissipée à ses bornes est : $$\mathcal{P}_R=ui=Ri^2=\dfrac{u^2}{R}$$ Sa représentation symbolique en convention récepteur est :
Dipôle résistance
Rappeler la loi de comportement d'un condensateur de capacité $C$ représenté en convention récepteur, rappeler l'expression de l'énergie stockée entre ses bornes et donner sa représentation symbolique.
En convention récepteur, on peut écrire $$i(t)=C\dfrac{\text{d} u}{\text{d} t}(t)$$ L'énergie stockée entre ses bornes est : $$\mathcal{E}_C=\dfrac{1}{2}Cu^2$$ Sa représentation symbolique en convention récepteur est :
Dipôle condensateur
Rappeler la loi de comportement d'une bobine d'inductance $L$ représenté en convention récepteur, rappeler l'expression de l'énergie stockée entre ses bornes et donner sa représentation symbolique.
En convention récepteur, on peut écrire $$u(t)=L\dfrac{\text{d} i}{\text{d} t}(t)$$ L'énergie stockée entre ses bornes est : $$\mathcal{E}_L=\dfrac{1}{2}Li^2$$ Sa représentation symbolique en convention récepteur est :
Dipôle bobine
Rappeler l'expression de la résistance équivalente à l'association série de deux résistances $R_1$ et $R_2$.
La résistance équivalente à l'association série de deux résistances vérifie : $$R_\text{eq}=R_1+R_2$$
Rappeler l'expression de la résistance équivalente à l'association parallèle de deux résistances $R_1$ et $R_2$.
La résistance équivalente à l'association parallèle de deux résistances vérifie : $$\dfrac{1}{R_\text{eq}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$$

Note :
 
Circuits du premier ordre
Définir les termes régimes forcé et régime libre.
Un circuit est dit en régime forcé lorsqu’un générateur lui apporte de l’énergie.
Il est dit en régime libre sinon.
Définir les termes régime établi (permanent) et régime transitoire.
Un circuit est dit en régime établi ou régime permanent lorsque la grandeur de sortie (la réponse) est de la même forme que la grandeur d’entrée (le forçage).
Il est dit en régime transitoire lorsque ce n’est pas encore le cas.
Quelle grandeur électrique est nécessairement continue lorsque l'on place une bobine dans un circuit électrique?
Quelle grandeur électrique est nécessairement continue lorsque l'on place un condensateur dans un circuit électrique?
La grandeur électrique nécessairement continue lorsque l'on place une bobine dans un circuit électrique est le courant.
La grandeur électrique nécessairement continue lorsque l'on place un condensateur dans un circuit électrique est la tension.
On donne l'équation différentielle du premier ordre à coefficients constants suivante : $$\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}+\dfrac{1}{\tau}u=X_0=\text{cste}$$ ainsi que la condition initiale $u(t=0)=U_0$. En déduire la loi horaire $u(t)$.
La solution particulière est de la forme du forçage, soit une constante. On en déduit $u_p=\tau X_0$.
La solution homogène est de la forme $u_h(t)=A\exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)$.
La famille de solution est de la forme $u(t)=\tau X_0+A\exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)$.
La condition initiale impose que : $$u(t)=\tau X_0 + (U_0-\tau X_0)\exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)$$
Représenter le portrait de phase du système obéissant à l'équation différentielle : $$\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}+\dfrac{1}{\tau}u=X_0=\text{cste}$$
Le portrait de phase est la courbe représentant $\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}=f(u)$. C'est donc une droite de pente $-\frac{1}{\tau}$ et d'ordonnée à l'origine $X_0$.
portrait de phase d'un circuit d'ordre un
On donne ci-dessous le chronogramme de la loi horaire de la charge d'un condensateur : $u(t)=U_0\left(1-\text{e}^{-t/\tau}\right)$. Déterminer $U_0$ ainsi que $\tau$.
charge d'un condensateur
Le chronogramme permet de relever que $U_0=10~\text{V}$ et $\tau=20~\text{s}$.
charge d'un condensateur

Note :
 
Circuits du second ordre
Comment se nomment les divers régimes possibles pour un système obéissant à une équation différentielle du second ordre à coefficients constants et forçage constant?
Les divers régimes sont :
  • régime à oscillations, appelé pseudo-périodique,
  • régime sans oscillations, appelée apériodique,
  • régime frontière, appelé critique.
Rappeler l'expression de la forme canonique d'une équation différentielle du second ordre à coefficients constants avec second membre constant.
L'équation différentielle peut s'écrire sous deux formes :
  • $\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}+\omega_0^2 u= X_0$.
  • $\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+\dfrac{2}{\tau}\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}+\omega_0^2 u= X_0$.
Quelles valeurs de $Q$ ou $\tau$ est compatible avec un régime pseudo-périodique?
Pour obtenir un régime pseudo-périodique, il faut que le discriminant de l'équation caractéristique soit négatif. On en déduit : $$\Delta=\dfrac{\omega_0^2}{Q^2}-4\omega_0^2 < 0 \quad Q > \dfrac{1}{2}$$ De même : $$\Delta=\dfrac{4}{\tau^2}-4\omega_0^2 < 0\quad \tau > \dfrac{1}{\omega_0}$$
On donne l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants suivante : $$\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}+\omega_0^2 u= X_0=\text{cste}$$ où $Q > \dfrac{1}{2}$. Donner la forme de la solution homogène $u_h(t)$.
Le critère $Q > \dfrac{1}{2}$ signe un régime pseudo-périodique, et la solution homogène est :
$$u_h(t)=\text{e}^{-\mu t}\left(A\cos\left(\Omega t\right) + B\sin\left(\Omega t\right)\right) \Leftrightarrow u_h(t)=A\text{e}^{-\mu t}\cos\left(\Omega t + \varphi\right)$$
où $\Omega=\omega_0\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}$ et $\mu=-\dfrac{\omega_0}{2Q}$, $A$ et $B$ ($A$ et $\varphi$) sont deux constantes à déterminer à l'aide des conditions initiales.
On donne l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants suivante : $$\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}+\omega_0^2 u= X_0=\text{cste}$$ où $Q < \dfrac{1}{2}$. Donner la forme de la solution homogène $u_h(t)$.
Le critère $Q < \dfrac{1}{2}$ signe un régime apériodique, et la solution homogène est : $$u_h(t)=A\text{e}^{r_1 t} + B\text{e}^{r_2 t}$$ où $r_1=\dfrac{\omega_0}{2Q}+\dfrac{\omega_0}{2Q}\sqrt{1-4Q^2}$ et $r_2=\dfrac{\omega_0}{2Q}-\dfrac{\omega_0}{2Q}\sqrt{1-4Q^2}$, $A$ et $B$ sont deux constantes à déterminer à l'aide des conditions initiales.
On donne l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants suivante : $$\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}+\omega_0^2 u= X_0=\text{cste}$$ où $Q = \dfrac{1}{2}$. Donner la forme de la solution homogène $u_h(t)$.
Le critère $Q = \dfrac{1}{2}$ signe un régime critique, et la solution homogène est : $$u_h(t)=\left(At+B\right)\text{e}^{-\omega_0 t}$$ où $A$ et $B$ sont deux constantes à déterminer à l'aide des conditions initiales.

Note :
 
Régime sinusoïdal forcé
Soit le signal en notation réelle : $u(t)=U_0\cos\left(\omega t + \varphi\right)$. Donner l'expression de sa notation complexe.
Le signal donné s'écrit en notation complexe : $$\underline{u}=U_0\text{e}^{\text{j}(\omega t + \varphi)}=\underline{U_0}\text{e}^{\text{j}\omega t}$$
Soit le signal en notation réelle : $u(t)=U_0\cos\left(\omega t + \varphi\right)$. Donner l'expression de ses dérivées premières et secondes en notation complexe.
Avec les données de l'énoncé, on a :
$\dfrac{\text{d}\underline{u}}{\text{d}t}=\text{j}\omega\underline{u}\quad\text{et} \quad\dfrac{\text{d}^2\underline{u}}{\text{d}t^2}=\left(\text{j}\omega\right)^2\underline{u}=-\omega^2\underline{u}$
Rappeler les impédances complexes associées aux dipôles résistances, condensateur et bobine.
Les impédances complexes demandées sont :
  • Résistance : $Z_R=R$,
  • Condensateur : $Z_C=\dfrac{1}{\text{j}C\omega}$,
  • Bobine : $Z_L=\text{j}L\omega$.
Comment définit-on la valeur efficace d'un signal périodique?
La valeur efficace d'un signal périodique est définie par :
$s_\text{eff}=\sqrt{\left\langle s^2(t)\right\rangle_T}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T s^2(t)\text{d}t}$
On donne l'amplitude complexe d'une tension $\underline{u}=\dfrac{E_0}{1-LC\omega^2}$. En déduire le signal en notation réelle : $u(t)$.
L'amplitude réelle se déduit de $U=\left|\underline{u}\right|$ et le déphasage se déduit de $\varphi=\arg\left(\frac{E_0}{1-LC\omega^2}\right)=0~[\pi]$. On en déduit :
  • si $\omega^2 > 1/LC$ : $u(t)=\dfrac{E_0}{1-LC\omega^2}\cos\left(\omega t +\pi\right)$,
  • si $\omega^2 < 1/LC$ : $u(t)=\dfrac{E_0}{1-LC\omega^2}\cos\left(\omega t \right)$.

Note :
 
Résonance & filtrage linéaire
Rappeler le théorème de Fourier de décomposition d'un signal périodique.
Tout signal $u(t)$, périodique de fréquence $f_0$ et de forme quelconque, peut se décomposer en une somme de signaux harmoniques de fréquences multiples de la fréquence dite fondamentale $f_0$ avec :
$u(t) = U_0 + \sum_{k=1}^\infty U_k \cos\left(2 \pi k f_0 t+ \varphi_k\right)$
avec $U_k \geq 0$.
Définir le terme fonction de transfert harmonique d'un système linéaire électrique.
On appelle fonction de transfert harmonique d’un système linéaire électrique le rapport entre l’amplitude complexe $\underline{S}$ du signal de sortie $s(t)$ et celle, $\underline{E}$, du signal d’entrée harmonique $e(t)$ en fonction de la pulsation $\omega$ du signal d’entrée : $$\underline{H}(\omega) = \dfrac{\underline{S}(\omega)}{\underline{E}(\omega)}$$
Définir ce qu'est la résonance d'un système électrique.
On dit qu’il y a résonance d’un système quand l’amplitude du signal de sortie passe par un maximum pour une fréquence (resp. pulsation) non nulle du signal d’entrée, appelée fréquence (resp. pulsation) de résonance, notée $f_r$ (resp. $\omega_r$).
Comment définit-on la bande passante d'un filtre?
On appelle bande passante l'intervalle de pulsation $\Delta \omega_c$ tel que :
$\Delta \omega_c=\omega_+-\omega_- \geq 0\quad\text{où}\quad\underline{H}(\omega_\pm)=\dfrac{\underline{H}(\omega_r)}{\sqrt{2}}$
où $\omega_r$ est la pulsation de résonance.
Comment définit-on l'acuité d'une résonance?
L'acuité d'une résonance est le rapport : $$A=\dfrac{\omega_r }{\Delta \omega_c}$$ où $\Delta \omega_c$ est la bande-passante et $\omega_r$ est la pusation de résonance.
Pour un système très faiblement amorti, c'est-à-dire de facteur de qualité $Q$ élevé, quelle relation existe-t-il entre l'acuité de résonance et $Q$?
Pour un système à grand facteur de qualité, alors $\omega_r\simeq \omega_0$ et $$A=Q$$
Définir la notion de filtrage.
On appelle filtrage l’opération qui consiste à extraire la partie d’intérêt (aussi appelée partie utile) d’un signal complexe comportant plusieurs signaux sinusoïdaux.
Qu'est-ce qu'un diagramme de Bode?
On appelle diagramme de Bode la représentation graphique de la fonction de transfert en fonction de la pulsation (ou de la fréquence) représentée en échelle logarithmique. On trace les courbes : $$\left\lbrace\begin{array}{l} G_\text{dB}=20\log\left(\underline{H}\right)=f\left(\log\omega\right) \\ \varphi=g\left(\log\omega\right)\\ \end{array}\right.$$
Définir, à partir de $G_\text{dB}$ les notions de pulsation de coupure et de bande passante.
On appelle pulsation de coupure, la (ou les) pulsation(s) $\omega_c$ vérifiant : $$G_\text{dB}(\omega_c)=G_\text{dB, max}-3~\text{dB}$$ On appelle bande passante, la gamme de pulsations vérifiant : $$G_\text{dB}(\omega)\geq G_\text{dB}(\omega_c)$$
Quelle est la nature du filtre dont on a tracé la courbe de gain en décibel? Donner ses caractéristiques : pulsation de coupure, bande passante et acuité si applicable.
filtre passe-bas
Le filtre représenté est un filtre passe-bas. Sa pulsation de coupure est $\omega_c\simeq 100~\text{rad.s}^{-1}$ et sa bande passante est $\Delta \omega = \omega_c-0 \simeq 100~\text{rad.s}^{-1}$.
Quelle est la nature du filtre dont on a tracé la courbe de gain en décibel? Donner ses caractéristiques : pulsation de coupure, bande passante et acuité si applicable.
filtre passe-haut
Le filtre représenté est un filtre passe-haut du second ordre (pente à $-40~\text{dB/décade}$). Sa pulsation de coupure est $\omega_c\simeq 10~\text{rad.s}^{-1}$.
Quelle est la nature du filtre dont on a tracé la courbe de gain en décibel? Donner ses caractéristiques : pulsation de coupure, bande passante et acuité si applicable.
filtre passe-bande
Le filtre représenté est un filtre passe-bande. Sa pulsation de coupure est $\omega_c\simeq 1~\text{rad.s}^{-1}$ et sa bande passante est $\Delta \omega = 1,5-0,8 \simeq 0,7~\text{rad.s}^{-1}$. Son acuité est donc : $A=\dfrac{\omega_c}{\Delta }\simeq 1,4$.

Note :
 
ALI & rétroaction
À quelle condition sur $a$ l'équation différentielle $\dfrac{\text{d} u}{\text{d} t} + a u(t) = 0$ est-elle stable?
Il faut nécessairement que $a \geq 0$ pour que la solution homogène à cette équation différentielle soit stable.
À quelle condition sur $a$ et $b$ l'équation différentielle $\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2} + a \dfrac{\text{d} u}{\text{d} t} + bu(t) = 0$ est-elle stable?
Il faut nécessairement que $a \geq 0$ et $b\geq 0$ pour que la solution homogène à cette équation différentielle soit stable.
Décrire le modèle réel de l'ALI.
L'ALI réel est caractérisé par les propriétés suivantes :
  • La fonction de transfert de l'ALI est $\underline{H}_\text{ALI}=\dfrac{\mu_0}{1+\text{j}\frac{\omega}{\omega_c}}$,
  • Le gain statique est de l'ordre de $\mu_0 \sim 10^5$,
  • L'impédance d'entrée est $R_e\simeq 1\times 10^5~\Omega$,
  • L'impédance de sortie est $R_s\simeq 100~\Omega$.
Représenter la caractéristique de l'ALI réel.
La caractéristique de l'ALI réel est : caractéristique d'un ALI réel où les zones 1 et 3 sont les zones de saturation, 2 est la zone linéaire, $\pm V_\text{sat}$ est la tension de saturation et $V_\text{offset}\sim 0,1~\text{V}$ est la tension de dérive.
Décrire le modèle idéal de l'ALI.
L'ALI idéal est caractérisé par les propriétés suivantes :
  • Le gain statique est infini,
  • La tension d'offset est nulle,
  • L'impédance d'entrée est infinie, ce qui impose $i^+=i^-=0$,
  • L'impédance de sortie est nulle.
Représenter la caractéristique de l'ALI idéal.
La caractéristique de l'ALI idéal est : caractéristique d'un ALI idéal où les zones 1 et 3 sont les zones de saturation, 2 est la zone linéaire, $\pm V_\text{sat}$ est la tension de saturation et $V_\text{offset}=0~\text{V}$ est la tension de dérive.
Quel est le régime de fonctionnement (linéaire ou saturé) d’un ALI dans les cas suivants : aucune rétroaction ? une unique rétroaction négative ? une unique rétroaction positive ? une rétroaction positive et une rétroaction négative ?
Si l’ALI ne compte aucune rétroaction ou une unique rétroaction positive, il fonctionne toujours en régime de saturation. S’il compte une unique rétroaction négative, il fonctionne probablement en régime linéaire (tant que l’amplitude du signal ne sortie n'atteint pas la valeur de saturation). S’il compte deux rétroactions, on ne peut pas connaître a priori le régime de fonctionnement de l’ALI : dans la pratique, il sera donné par l’énoncé.
Quel facteur peut limiter la réponse temporelle d'un ALI réel ?
Le slew-rate ou vitesse limite de balayage est représente la vitesse de variation maximale que peut reproduire un amplificateur. Il est de l'ordre de $0,67~\text{V}/\mu\text{s}$ et limite donc sa réponse temporelle.
Écrire la loi des nœuds en termes de potentiel à l’entrée $\ominus$ de l’ALI ci-dessous. Montage amplificateur
La loi des nœuds à l’entrée $\ominus$ s'écrit $i_1=i^-+i_2=0$. Avec un ALI idéal $i^-=0$ car la résistance d'entrée est infinie. Exprimée en terme de potentiels, il vient alors : $\frac{u_e-V^-}{R_1}=\frac{V^--u_s}{R_2}$. En régime linéaire $\varepsilon=V^+-V^-=0$, or $V^+=0$ d'où $$\dfrac{u_e}{R_1}=-\dfrac{u_s}{R_2}$$
On représente le cycle d’un comparateur à hystérésis non-inverseur et sa tension d’entrée $e(t)$. À l’instant initial, quel est l’état de saturation de l’ALI ? Parmi les instants indiqués, quels sont ceux auxquels l’ALI bascule ? Montage comparateur
L’ALI est initialement en saturation haute et il y reste tant que $e > −\beta V_\text{sat}$. Lorsqu’il est en saturation basse, il y reste tant que $e < \beta V_\text{sat}$. Il y a donc basculement aux instants $t_2$, $t_4$ et $t_6$.

Note :
 
Oscillateurs
Quels sont les deux familles d'oscillateurs du programme officiel?
On étudie les oscillateurs quasi-sinusoïdaux et les oscillateurs à relaxation.
Quels sont les deux blocs constituant un oscillateur quasi-sinusoïdal ?
Un oscillateur quasi-sinusoïdal est constitué d’un amplificateur et d’un filtre passe-bande bouclés l’un sur l’autre.
Quel rôle joue le régime de saturation dans le fonctionnement d'un oscillateur quasi-sinusoïdal ?
Le passage en régime de saturation permet de stabiliser le fonctionnement de l'oscillateur en réduisant l'amplitude du signal de sortie pour le ramener sous le critère de saturation.
Quel paramètre d’un oscillateur quasi-sinusoïdal fixe la fréquence des oscillations ?
La fréquence des oscillations est fixée par la fréquence centrale du passe-bande.
On donne l'équation différentielle vérifiée par l’une des tensions d’un oscillateur quasi-sinusoïdal :
$\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}(1-H_0A)\dfrac{\text{d} u}{\text{d}t}+\omega_0^2 u =0$
où $A$ est le gain du bloc amplificateur et $H_0\in\mathbb{R}$ la valeur de la fonction de transfert du passe-bande à sa fréquence centrale. À quelle condition sur $H_0$ et $A$ les oscillations sont-elles purement sinusoïdales ? À quelle condition peuvent- elles apparaître ?
Les oscillations sont parfaitement sinusoïdales si l’équation est celle d’un oscillateur harmonique, soit $H_0A = 1$... mais elles ne peuvent apparaître que si l’équation est instable, soit $1 − H_0A < 0$ donc $H_0A > 1$. On en conclut que les oscillations purement sinusoïdales ne sont qu’un cas limite inaccessible en pratique.
Quelles sont les différentes étapes du fonctionnement d'un oscillateur à relaxation?
Le fonctionnement d'un oscillateur à relaxation passe par les étapes suivantes :
  • remplissage d'un réservoir d'énergie,
  • atteinte d'une contrainte plafond qui déclenche une perte énergétique,
  • atteinte d'une contrainte plancher qui termine la perte énergétique,
  • bouclage avec le premier point.
Quels sont les deux blocs constituant un oscillateur à relaxation électronique, type multivibrateur astable ?
Un multivibrateur astable est constitué d’un comparateur à hystérésis et d’un intégrateur bouclés l’un sur l’autre. L’un des deux blocs doit être inverseur.

Note :