CPGE Sciences Physiques

Un corps ponctuel est un système représenté par un point (donc sans volume) auquel on affecte une masse, notée $m$

Un solide peut être représenté par un point lorsque son orientation dans l'espace n'a aucune influence sur sa trajectoire.

Il existe une famille de référentiels, appelés référentiels galiléens, dans lesquels un point matériel isolé a un mouvement rectiligne uniforme.

La base de projection cartésienne est représentée ci-dessous : La base cartésienne étant fixe dans le référentiel galiléen, on peut écrire : $$\left\lbrace\begin{array}{l} \overrightarrow{OM}=x\vec{e}_x+y\vec{e}_y+z\vec{e}_z \\ \vec{v}=\dot{x}\vec{e}_x+\dot{y}\vec{e}_y+\dot{z}\vec{e}_z \\ \vec{a}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z \end{array}\right.$$

La base de projection cylindrique est représentée ci-dessous : La base cylindrique étant mobile dans le référentiel galiléen, on peut écrire :

La force de gravitation est : $$\vec{F}_{1\to 2}=-\mathcal{G}\dfrac{m_1m_2}{r^2}\vec{e_{1\to 2}}$$ où $\vec{F}_{1\to 2}$ est la force exercée par le corps 1 sur le corps 2, $\mathcal{G}=6,67.10^{-11}~\text{m}^3.\text{kg}^{-1}.\text{s}^{-2}$ et $\vec{e_{1\to 2}}$ est le vecteur unitaire orienté de 1 vers 2.

La poids se déduit de celle de la gravitaton avec $m_1=M_T$, $m_2=m$ et $r\simeq R_T$, soit : $$\vec{P}=m\vec{g}$$ où $\vec{g}=\mathcal{G}\frac{M_T}{R_T^2}\vec{u_{2\to T}}$, et $\vec{u_{2\to T}}$ est le vecteur unitaire dirigé du point $M$ vers le centre de la Terre, généralement assimilé à $\vec{e}_z$.

La force de Coulomb est : $$\vec{F}_{1\to 2}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{e_{1\to 2}}$$ où $\vec{F}_{1\to 2}$ est la force exercée par le corps 1 sur le corps 2, $\varepsilon_0=8,85.10^{-12}~\text{F}.\text{m}^{-1}$ et $\vec{e_{1\to 2}}$ est le vecteur unitaire orienté de 1 vers 2.

La force de Lorentz est : $$\vec{F_\text{Lorentz}}=q(\vec{E}+\vec{v}\wedge\vec{B})$$ avec $q$ la charge de la particule étudiée, $\vec{E}$ le champ électrique et $\vec{B}$ le champ magnétique.

La force de réaction au support se décompose en deux composantes, l'une normale au support et présente tant qu'il y a contact, l'autre tangentielle au support et présente tant que les frottements entre le support et le système sont pris en compte : $$\vec{R}=\vec{R}_N+\vec{R}_T$$

La force de frottement fluide linéaire est $$\vec{F}=-\alpha(\vec{v}-\vec{v}_\text{fluide})$$ où $\alpha > 0$, $\vec{v}$ est la vitesse du système dans le référentiel galiléen et $\vec{v}_\text{fluide}$ celle du fluide dans le même référentiel galiléen

La force de frottement fluide quadratique est : où $\beta > 0$, $\vec{v}$ est la vitesse du système dans le référentiel galiléen et $\vec{v}_\text{fluide}$ celle du fluide dans le même référentiel galiléen

La force de réaction d'un ressort est : $$\vec{F}=-k(\ell-\ell_0)\vec{u}$$ où $k>0$ est la constante de raideur, $\ell_0$ est la longueur à vide du ressort, $\ell$ est la longueur du ressort à l'instant considéré et $\vec{u}$ est le vecteur unitaire qui donne le sens d'élongation du ressort.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un système ponctuel de masse constante s'écrit : $$m\vec{a}=\vec{F}$$ où $\vec{F}=\sum_i \vec{F}_i$ est la résultante des forces appliquées au système.

L'énergie cinétique d'un corps ponctuel est : $$\mathcal{E}_c=\dfrac{1}{2}mv^2$$ où $m$ est la masse, $v$ sa vitesse dans le référentiel galiléen d'étude.

Le travail élémentaire de la force $\vec{F}$ est : $$\delta W = \vec{F}\cdot\vec{\text{d}l}$$ Le travail entre $I$ et $F$ s'en déduit : $$W=\int_I^F\delta W=\int_I^F\vec{F}\cdot\vec{\text{d}l}$$

La puissance instantannée d'une force $\vec{F}$ est : $$\mathcal{P}=\frac{\delta W}{\text{d}t}=\vec{F}\cdot\vec{v}$$ où $\vec{v}$ est la vitesse instantannée du système.

Le théorème de la puissance cinétique est : $$\dfrac{\text{d}\mathcal{E}_c}{\text{d}t}=\sum_i\mathcal{P}(\vec{F}_i)$$ où $\vec{F}_i$ est l'une des forces appliquées au système.

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit :

Une force est dite conservative si son travail le long d’une trajectoire $IF$ ne dépend que des points $I$ et $F$ mais pas du chemin suivi pour aller de l’un à l’autre.
Une telle force dérive d'une énergie potentielle et on peut écrire : $$\vec{F}=-\overrightarrow{\text{grad}}\mathcal{E}_p$$

Lorqu'elle existe, l'énergie potentielle vérifie : $$\text{d}\mathcal{E}_p=-\delta W$$

L'énergie potentielle de pesanteur mesurée le long d'un axe vertical $Oz$, orienté dans le sens opposé à $\vec{g}$ s'écrit : $$\mathcal{E}_{p,\text{ p}}=mgz+\text{cste}$$ où $z$ est la coordonnée du point $M$ étudié.
Si cette énergie potentielle est mesurée le long d'un axe vertical $Oz$, orienté dans le sens de $\vec{g}$, elle s'écrit : $$\mathcal{E}_{p,\text{ p}}=-mgz+\text{cste}$$ La constante est prise nulle avec la convention $\mathcal{E}_{p,\text{ p}}(z=0)=0$.

L'énergie potentielle élastique d'un ressort s'écrit : $$\mathcal{E}_{p,\text{ e}}=\dfrac{1}{2}k(\ell-\ell_0)^2+\text{cste}$$ où $k > 0$ est la constante de raideur du ressort, $\ell$ sa longueur et $\ell_0$ sa longueur à vide.
La constante est prise nulle avec la convention $\mathcal{E}_{p,\text{ e}}(\ell=\ell_0)=0$.

L'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle s'écrit : $$\mathcal{E}_{p,\text{ N}}=-\dfrac{\mathcal{G}m_1m_2}{r}+\text{cste}$$ où $\mathcal{G}$ est la constante de gravitation universelle, $m_1$ et $m_2$ les masses en interaction, et $r$ la distance qui les sépare.
La constante est prise nulle avec la convention $\mathcal{E}_{p,\text{ N}}(r=+\infty)=0$.

L'énergie potentielle d'interaction électrostatique s'écrit : $$\mathcal{E}_{p,\text{ C}}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r}+\text{cste}$$ où $\varepsilon_0$ est la permittivité diélectrique du vide, $q_1$ et $q_2$ les charges en interaction, et $r$ la distance qui les sépare.
La constante est prise nulle avec la convention $\mathcal{E}_{p,\text{ C}}(r=+\infty)=0$.

L'énergie mécanique d'un corps ponctuel est : $$\mathcal{E}_m=\mathcal{E}_c+\mathcal{E}_p$$

Le théorème de la puissance mécanique est : $$\dfrac{\text{d}\mathcal{E}_m}{\text{d}t}=\sum_i\mathcal{P}(\vec{F}_{i,\text{ non cons.}})$$ où $\vec{F}_{i,\text{ non cons.}}$ est l'une des forces non conservatives appliquées à $M$.

Dans le cas d'un système uniquement soumis à des forces conservatives, le théorème de l'énergie mécanique s'écrit : $$\Delta\mathcal{E}_m=\mathcal{E}_m(F)-\mathcal{E}_m(I)=0$$

Dans les conditions évoquées, le corps ponctuel est en équilibre si : où $x_\text{éq}$ est la coordonnée d'équilibre du corps ponctuel.

Dans les conditions évoquées, le corps ponctuel est en équilibre stable si : De même, le corps ponctuel est en équilibre instable si :

Le moment cinétique est la grandeur vectorielle, exprimée en $\text{kg.m}^2.\text{s}^{-1}$ telle que : $$\overrightarrow{\mathcal{L}_{O}}=\overrightarrow{OM}\wedge m\vec{v}$$

Le moment cinétique par rapport à $\Delta$ est la grandeur scalaire, exprimée en $\text{kg.m}^2.\text{s}^{-1}$ telle que :

Le moment d'une force est la grandeur vectorielle, exprimée en $\text{kg.m}^2.\text{s}^{-2}$ et telle que : $$\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\vec{F})=\overrightarrow{OM}\wedge\vec{F}$$

Le moment d'une force par rapport à $\Delta$ est la grandeur scalaire, exprimée en $\text{kg.m}^2.\text{s}^{-2}$ et telle que :

On complète le schéma avec les notations ci-dessous : On en déduit, en orientant $\Delta$ vers le lecteur : $$\mathcal{M}_\Delta(\vec{F})=-\ell\cos\alpha F$$

On appelle couple une action mécanique de contact dont la force résultante est nulle, mais dont le moment résultant $\overrightarrow{\mathcal{M}}_O$ ne l’est pas.

Le théorème du moment cinétique par rapport au point fixe $O$ s'écrit : $$\dfrac{\text{d}\overrightarrow{\mathcal{L}_O}}{\text{d}t}=\sum_i\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\vec{F}_i)$$

Le théorème du moment cinétique par rapport à l'axe fixe $\Delta$ s'écrit : $$\dfrac{\text{d}\mathcal{L}_\Delta}{\text{d}t}=\sum_i \mathcal{M}_\Delta(\vec{F}_i)$$

Un point matériel $M$ soumis à un ensemble de forces dont le moment cinétique se conserve a un mouvement plan, dans le plan passant par le point $O$ et perpendiculaire à $\overrightarrow{\mathcal{L}}_O$.

La force de Lorentz est : $$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\wedge\vec{B})$$

Un champ électrique $\vec{E}$ peut accélérer ou dévier une particule chargée.

Un champ magnétique $\vec{B}$ peut seulement dévier une particule chargée. La norme de sa vitesse restera constante.

Le poids d'une particule chargée est très généralement négligeable devant la force de Lorentz.

L'énergie potentielle électrostatique est telle que : $$\mathcal{E}_{p,\text{ V}}=qV+\text{cste}$$ où $V(M)$ est le champ potentiel électrostatique.

La puissance de la force de Lorentz est telle que :

La pulsation cyclotron est : $$\omega_c=\dfrac{\left|q\right|B}{m}$$

Le rayon cyclotron est : $$R_c=\dfrac{mv_0}{\left|q\right|B}$$

On appelle force centrale conservative toute force qui s'écrit : $$\vec{F}=F(r)\vec{e}_r$$ où $r$ est la distance qui sépare le point $M$ d'un point fixe $O$ appelé centre attracteur, et $\vec{e}_r=\frac{\vec{OM}}{r}$.

L'énergie d'un point matériel soumis à une force centrale se conserve.

Le moment cinétique d'un point matériel soumis à une force centrale se conserve.

La conservation du moment cinétique $\overrightarrow{\mathcal{L}}_0$ d'un point matériel soumis à une force centrale permet de conclure à une trajectoire plane, dans le plan contenant le point $O$ et normal au vecteur $\overrightarrow{\mathcal{L}}_0$.

L'aire balayée par le segment $OM$, pendant l'intervalle de temps $\text{d}t$ est par définition $$\text{d}S=\dfrac{1}{2}\left\|\overrightarrow{OM}\wedge\vec{v}\text{d}t\right\|$$ Dans le cas d'une force centrale conservative, l'expression du moment cinétique permet d'en déduire $$\text{d}S=\dfrac{\mathcal{L}_O}{2m}\text{d}t$$ où $\mathcal{L}_O=\text{cste}$ est la norme du moment cinétique de $M$ et $m$ sa masse.

L'énergie potentielle d'un point matériel soumis à une force centrale conservative de la forme $\vec{F}=\frac{K}{r^2}\vec{e}_r$ s'écrit : $$\mathcal{E}_p=\dfrac{K}{r}+\text{cste}$$

En exploitant l'expression de l'énergie cinétique $\mathcal{E}_c=\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)$ et celle du moment cinétique $\mathcal{L}_O=mr^2\dot{\theta}$, il vient : $$\mathcal{E}_m=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\underbrace{\dfrac{\mathcal{L}_O^2}{2mr^2}+\mathcal{E}_p(r)}_{\mathcal{E}_{p,\text{ eff}}}$$

Lorsque les rayons qui sont accessibles au point matériel sont compris entre $r_\text{min}$ et $+\infty$, l'état est dit de diffusion.

La courbe ci-dessous permet de conclure : La borne supérieur de $r$ est $+\infty$, l'état est donc de diffusion.
La borne inférieur des distances $OM$ accessibles au point matériel est : $$r_\text{min}\simeq 0,05~\text{m}$$.

Lorsque les rayons qui sont accessibles au point matériel sont compris entre $r_\text{min}$ et $r_\text{max}$, l'état est dit lié.

La courbe ci-dessous permet de conclure : Les valeurs de $r$ admettent des bornes finies, l'état est donc lié.
Les valeurs des distances $OM$ accessibles au point matériel sont encadrées par : $$r\in\left[0,08~\text{m}; 0,23~\text{m}\right]$$

La courbe ci-dessous permet de conclure : La valeur de $r$ permettant une trajectoire circulaire est : $$r_0\simeq 0,12~\text{m}$$

Les trois lois de Kepler sont :

• Les orbites des planètes du système solaire sont elliptiques, et le Soleil est l'un des foyers ;
• Les aires balayées par le segment Soleil-planète, pendant des durées, égales sont égales. Elles ne dépendent pas de la planète considérée ;
• La période orbitale $T$ et le demi-grand axe $a$ de l'orbite sont reliés par $$\dfrac{T^2}{a^3}=\text{cste}$$ où la constante est indépendante de la planète considérée.

La vitesse minimale de mise en orbite est : $$v_1=\sqrt{\dfrac{\mathcal{G}m_T}{R_T}}$$

La vitesse de libération est : $$v_2=\sqrt{\dfrac{2\mathcal{G}m_T}{R_T}}$$

On appelle solide indéformable un modèle de système matériel $\mathcal{S}$ dont les points restent à distance constante les uns des autres au cours du temps.

Un solide a un mouvement de translation par rapport à un référentiel $\mathcal{R}$ si pour tous points $M_1$ et $M_2$ du solide le vecteur $\overrightarrow{M_1M_2}$ garde une direction constante par rapport à ce référentiel tout au long du mouvement.

Un solide a un mouvement de rotation autour d’un axe fixe $\Delta$ si la distance de tout point du solide à tout point de cet axe est constante au cours du mouvement : $$\forall M\in\mathcal{S},~\forall A \in \Delta, \left\|\vec{AM}\right\| = \text{cste}$$

On appelle centre de masse, d'un système de points $\mathcal{S}$, le point $G$, barycentre des points $M_i$ de $\mathcal{S}$, pondérés par leur masse $m_i$. On peut définir ce point par : $$\overrightarrow{OG}=\dfrac{\sum_i m_i\overrightarrow{OM_i}}{\sum_i m_i}$$

La quantité de mouvement d'un solide $\mathcal{S}$, de masse $m_\mathcal{S}$ et de centre de masse $G$, est : $$\vec{p}_\mathcal{S}=m_\mathcal{S}\vec{v}(G)$$

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un solide $\mathcal{S}$ s'écrit : $$m_\mathcal{S}\dfrac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t}(G)=\sum_i \vec{F}_{\text{ext},~i}$$ où $\vec{F}_{\text{ext},~i}$ est une des forces extérieures au système.

L'énergie cinétique d'un solide $\mathcal{S}$ en translation est : $$\mathcal{E}_{c,~\mathcal{S}}=\dfrac{1}{2}m_\mathcal{S}v^2(G)$$

Le moment cinétique d’un solide indéformable $\mathcal{S}$ en rotation autour d’un axe $\Delta$ fixe s’exprime par : $$\mathcal{L}_{\mathcal{S},\Delta} = J_\Delta \omega$$ où $J_\Delta$ est le moment d’inertie de $\mathcal{S}$ par rapport à $\Delta$ et $\omega$ sa vitesse angulaire de rotation autour de $\Delta$.

Le théorème du moment cinétique appliqué à un solide $\mathcal{S}$ est : $$J_\Delta\dfrac{\text{d}\omega}{\text{d}t}=\sum_i \mathcal{M}_{i,\text{ ext}}$$ où $J_\Delta$ est le moment d'inertie de $\mathcal{S}$ autour de $\Delta$ et $\mathcal{M}_{i,\text{ ext}}$ est le moment par rapport à $\Delta$ de l'une des forces extérieures appliquée à $\mathcal{S}$

L'énergie cinétique d'un solide en rotation autour de $\Delta$ est : $$\mathcal{E}_{c,\mathcal{S},\Delta}=\dfrac{1}{2}J_\Delta\omega^2$$

La puissance mécanique demandée est : $$\mathcal{P}_{\Delta,~\mathcal{S}}=\sum_i \mathcal{M}_\Delta(\vec{F}_i)\omega$$

Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide $\mathcal{S}$ en rotation est : $$\dfrac{\text{d}\mathcal{E}_{c,~\mathcal{S}}}{\text{d}t}=\sum_i \mathcal{P}_{i,\text{ ext}}=\omega\sum_i\mathcal{M}_\Delta(\vec{F}_i)$$

On appelle fluide, tout milieu matériel déformable. On regroupe sous ce terme les liquides, gaz, ou plasmas.

On appelle particule fluide, le système mésoscopique fermé, contenant un ensemble statistiquement représentatif de molécules, qui permet de définir l’ensemble des grandeurs thermomécaniques $(P, T, \ldots)$ et de les considérer comme uniformes à cette échelle.

On appelle approximation des milieux continus, l’hypothèse de continuité et de dérivabilité des propriétés thermomécaniques du milieu considéré dans le volume de contrôle $\mathcal{V}$.

La loi des gaz parfaits permet de retrouver : $$\mu=\dfrac{PM}{RT}$$

L'équation d'état des fluides incompressibles et indilatables permet de retrouver : $$\mu=\mu_0=\text{cste}$$

La loi de la statique des fluides est : $$\vec{\text{grad}}~P=\vec{f}_\text{vol}$$

La relation de la statique des fluides demandées est : $$\dfrac{\text{d} P}{\text{d}z}=-\mu g$$

La relation demandée est : $$P(z)=P_0-\mu gz$$ si l'axe $Oz$ est vertical ascendant et $P(z=0)=P_0$.

La relation demandée est : $$P(z)=P_0\exp\left(\dfrac{-Mg}{RT_0}z\right)$$ si l'axe $Oz$ est vertical ascendant et $P(z=0)=P_0$.

La hauteur caractéristique demandée a pour expression :

La relation demandée est : $$\vec{\text{d}F}=P(M)\vec{n}(M)\text{d}S$$ où $\vec{n}(M)$ est le vecteur normal à $\text{d}S$ en $M$ orienté du fluide vers le milieu extérieur.

Sur une surface plane, il vient : $$\vec{F}=\iint_S\vec{\text{d}F}=P_1S\vec{u}$$

Dans un champ de pression uniforme, la force de pression sur une surface fermée est : $$\vec{F}=\subset\kern-.5em\supset\kern-1.3em\iint_S P_1\vec{n}(M)\text{d}S=\vec{0}$$

Il s'agit de la poussée d'Archimède qui s'écrit : $$\vec{\Pi}_a=-m_\text{f}\vec{g}$$ où $m_\text{f}$ est la masse du fluide déplacé par le solide immergé.

Un écoulement stationnaire est tel que le champ de vitesse $\vec{v}(M,t)$ est indépendant du temps en tout point $M$ du volume de contrôle : $$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}(M,t)=\vec{0}$$

Un écoulement unforme est tel que le champ de vitesse $\vec{v}(M,t)$ est identique tout point $M$ du volume de contrôle à un instant $t$ donné : $$\vec{V}(M,t)=\vec{V_0}(t)$$

Le débit massique est : qui s'exprime en $\text{kg}.\text{s}^{-1}$.

Le débit volumique est : qui s'exprime en $\text{m}^3.\text{s}^{-1}$.

Le débit massique se conserve au cours du temps en régime permanent : $$D_m=\text{cste}$$

Un fluide incompressible est défini par une masse volumique uniforme : $$\mu=\mu_0=\text{cste}$$

Il faut pour celà que le fluide ait une masse volumique uniforme et que l'écoulement soit stationnaire.

On appelle ligne de courant une courbe de l'espace qui, à tout instant, est en tout point tangente au vecteur vitesse. En régime permanent, c'est également la trajectoire d'une particule fluide.

Un fluide incompressible a une masse volumique uniforme : $$\mu=\mu_0$$ Un écoulement incompressible a un champ de vitesse qui vérifie : $$\text{div}\vec{v}=0$$

Un écoulement irrotationnel a un champ de vitesse qui vérifie : $$\vec{\text{rot}}\vec{v}=\vec{0}$$

La viscosité (dynamique) est la grandeur physique $\eta>0$ exprimée en $\text{Pa.s}$ dans les unités du système international qui caractérise la résistance à l'écoulement d'un fluide.

On qualifie de parfait tout fluide dont il est possible de décrire le mouvement sans prendre en compte les effet de viscosité. Dans le cas contraire, le fluide est qualifié de visqueux.

Un fluide newtonien est un fluide dont la viscosité dynamique est une constante indépendante du gradient de vitesse subi par le fluide.

Un fluide parfait ne peut pas traverser une paroi : $$\vec{v}(M\in\text{paroi}).\vec{n}=\vec{v}_\text{paroi}.\vec{n}$$ où $\vec{n}$ est le vecteur normal à la paroi. En général, on a $\vec{v}(M\in\text{paroi}).\vec{n}=0$.

Un fluide visqueux adhère à une paroi : $$\vec{v}(M\in\text{paroi})=\vec{v}_\text{paroi}$$ En général, on a $\vec{v}(M\in\text{paroi})=\vec{0}$.

Un fluide incompressible de masse volumique $\mu_0$, parfait, soumis uniquement à la gravité et aux forces de pression, s'écoulant de manière stationnaire vérifie la relation :

Un fluide incompressible de masse volumique $\mu_0$, soumis à la gravité, aux forces de pression, à un puissance indiquée $\mathcal{P}_i$ et à une puissance des forces visqueuses $\mathcal{P}_\eta$, s'écoulant de manière stationnaire vérifie la relation :

On appelle perte de charge régulière, exprimée en $[\text{Pa}]$ la chute de pression due à un écoulement le long d'une conduite. On l'exprime généralement selon : où $L$ est la longueur de la conduite, $D$ son diamètre, et $f$ une constante empirique qui dépend de paramètres tels l'état de surface et le nombre de Reynolds.

On appelle perte de charge singulière, exprimée en $[\text{Pa}]$ la chute de pression due à toute singularité dans l'écoulement (coude, restriction de section...). On l'exprime généralement selon : où $\zeta$ est une constante empirique sans dimension qui dépend de la forme de la singularité.

On appelle puissance indiquée, notée $\mathcal{P}_i$ et exprimée en $[\text{W}]$, la puissance mécanique apportée par un ensemble de parois mobiles à un fluide en écoulement.
On appelle travail indiqué, notée $w_i$ et exprimée en $[\text{J.kg}^{-1}]$, le travail mécanique massique apporté par un ensemble de parois mobiles à un fluide en écoulement.