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Cartes mémoire d'électromagnétique | Classes préparatoires scientifiques

 
Champs magnétiques & force de Laplace
Quelles sont les sources de champ magnétostatique?
Un champ magnétostatique peut être créé par un mouvement de charges électrique (c’est-à-dire un courant électrique) ou par de la matière aimantée.
Prévoir qualitativement l’allure des lignes de champ magnétique créées par un fil rectiligne parcouru par un courant $I$.
L’allure des lignes de champ se trouve par la règle de la main droite : l’intensité impose la direction du pouce, l’enroulement des doigts donne l’enroulement des lignes de champ.
règle de la main droite
Prévoir qualitativement la direction et le sens du champ magnétique sur l’axe d’une spire circulaire parcourue par un courant $I$.
règle de la main droite
Le sens du champ se trouve par la règle de la main droite, qui fonctionne « dans les deux sens » : cette fois, l’intensité impose l’enroulement des doigts et le pouce donne la direction du champ.
règle de la main droite
Rappeler l'expression du moment magnétique d'une spire parcourue par un courant d'intensité $i$.
Le moment magnétique est : $$\vec{m}=iS\vec{n}$$ où $S$ est la surface de la spire, $\vec{n}$ est le vecteur normal à la spire orientée par la règle de la main droite appliquée sur $i$.
Comment produire un champ magnétique tournant ?
Un champ tournant est produit par superposition des champs créés par des bobines décalées parcourues par des courants sinusoïdaux de même amplitude. Le déphasage entre les courants doit être égal au décalage angulaire entre les bobines. Usuellement, on utilise trois bobines et des courants déphasés de $2\pi/3$ (triphasé).
Rappeler l'expression de la force de Laplace élémentaire.
La force de Laplace élémentaire s'exprime selon : $$\vec{\text{d}F}_L=i\vec{\text{d}\ell}\wedge\vec{B}$$ où $i$ est l'intensité du courant électrique, $\vec{\text{d}\ell}$ est le vecteur unitaire du fil orienté dans le sens de $i$ et $B$ le champ magnétique extérieur.
Une tige mobile est placée sur des rails fixes (rails de Laplace) séparés d’une distance $a$, l’ensemble étant plongé dans un champ uniforme $\vec{B}$. Un générateur impose un courant $I > 0$ dans le système. Que vaut la force subie par la tige ?
rail de Laplace
En tout point de la tige mobile, $\vec{\text{d}l} = \text{d}l\vec{e_y}$ donc $\vec{\text{d}F_L} = I\text{d}l\vec{e_y}\wedge B\vec{e_z} = I\text{d}lB\vec{e_x}$ et par intégration le long de la tige :$$\vec{F_L} =IaB\vec{e_x}$$
Rappeler l'expression du couple de Laplace subi par une spire rectangulaire, parcourue par un courant $i$ et plongée dans un champ $\vec{B}$ uniforme, en rotation autour d’un axe fixe.
Une spire rectangulaire plongée dans un champ magnétique $\vec{B}$ subit un couple : $$\vec{\Gamma}=iS\vec{n}\wedge\vec{B}=\vec{m}\wedge\vec{B}$$ où $S$ est la surface de la spire.
Comment un moment magnétique $\vec{m}$ s’oriente-t-il spontanément lorsqu’il est placé dans un champ magnétique $\vec{B}$ ?
Le moment magnétique tend à s’aligner dans le sens du champ.

Note :
 
Phénomène d'induction
Qu'appelle-t-on flux magnétique?
On appelle flux (du champ) magnétique, au travers d’une surface $S$ s’appuyant sur un contour fermé $\mathcal{C}$, la grandeur $\Phi$ exprimée en Weber $1~\text{Wb}=1~\text{T.m}^2$, telle que : $$\Phi=\iint_S \vec{B}\cdot\vec{\text{d}S}$$ où $\vec{\text{d}S}$ est orienté en respectant la règle de la main droite appliquée à $\mathcal{C}$.
Énoncer la loi de Faraday.
La force électromotrice induite dans un circuit fermé est égale à : $$e_\text{ind}(t) = −\dfrac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}$$ où $\Phi(t)$ est le flux magnétique au travers du circuit orienté par le sens de $i$. La fém induite est ainsi calculée en convention générateur, et orientée dans le sens positif du courant.
Qu'appelle-t-on flux propre?
On appelle flux propre $\Phi_p$ le flux du champ magnétique créé par le circuit au travers du circuit lui-même : $$\Phi_p=\iint_S \vec{B_p}\cdot\vec{\text{d}S}$$ où $\vec{B_p}$ est le champ magnétique créé par le courant $i$ du circuit, et $\vec{\text{d}S}$ est la normale locale orientée par la règle de la main droite appliquée au sens de circulation de $i$.
Comment définit-on l'inductance propre (auto-inductance) $L$?
L'inductance propre $L$, exprimée en $\text{H}$, s'exprime selon : $$\Phi_p = Li$$
Soit deux circuits fermés, notés 1 et 2, , parcourus par des courants $i_1$ et $i_2$, Comment définit-on l'inductance mutuelle $M$?
L'inductance mutuelle $M$, exprimée en $\text{H}$, s'exprime selon :
$$\Phi_{1\to 2} = M i_1\quad\text{ et }\quad \Phi_{2\to 1} = M i_2$$
où $\Phi_{1\to 2}$ est le flux du champ magnétique créé par le circuit 1 dans la spire délimitée par le circuit 2.
Énoncer la loi de Lenz.
Par leurs conséquences, les phénomènes d’induction tendent à atténuer leurs causes.
On considère un aimant à proximité d’une spire. On approche l’aimant de la spire. Quel est le sens du courant induit? Le champ $\vec{B_a}$ représenté en vert est celui créé par l’aimant.
loi de Lenz
Lorsque la spire s’approche, le champ créé par l’aimant au niveau de la spire augmente, donc le flux magnétique augmente. D’après la loi de Lenz, le champ induit $\vec{B}_\text{ind}$ va atténuer cette augmentation : il est donc opposé à $\vec{B}_a$. Par la règle de la main droite, on en déduit le sens du courant induit qui créé ce champ $\vec{B}_\text{ind}$. Attention : si l’aimant cesse d’avancer, le champ et le courant induit redeviennent nuls. La cause de l’induction n’est pas le flux magnétique lui-même, mais ses variations.
loi de Lenz
Dans le montage ci-dessous, exprimer la tension $u_2$ aux bornes de la bobine $L_2$ en fonction des intensités $i_1$ et $i_2$.
couplage de circuits
Il y a couplage inductif, donc la loi de comportement habituelle de la bobine de s’applique pas : on a $$u_2 = L_2\dfrac{\text{d}i_2}{\text{d}t} + M\dfrac{\text{d}i_1}{\text{d}t}$$
Donner la définition d'un transformateur parfait (idéal).
Un transformateur est un système qui modifie l’amplitude de signaux électriques alternatifs à fréquence constante. Il est dit parfait (idéal) si :
  • les lignes de champ sont parfaitement canalisées dans le matériau ferromagnétique;
  • le matériau magnétique est sans pertes ;
  • les résistances des bobinages primaire et secondaire sont nulles.
On note 1 le circuit primaire et 2 le circuit secondaire, établir un lien entre les tensions $u_1$ au primaire et $u_2$ au secondaire obtenues dans un transformateur parfait (idéal).
Lorsque les circuits sont en influence totale, on a : $$\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{N_2}{N_1}=m$$ où $N_i$ est le nombre de spires du circuit d'indice $i$ et $m$ est appelé le rapport de transformation.
On note 1 le circuit primaire et 2 le circuit secondaire, établir un lien entre les courants $i_1$ au primaire et $i_2$ au secondaire obtenues dans un transformateur parfait (idéal).
Lorsque les circuits sont en influence totale, on a : $$\dfrac{i_2}{i_1}=\dfrac{N_1}{N_2}=\dfrac{1}{m}$$ où $N_i$ est le nombre de spires du circuit d'indice $i$ et $m$ est appelé le rapport de transformation.

Note :
 
Conversion d'énergie électromagnétique
On considère des rails de Laplace en fonctionnement moteur : un générateur impose une tension $E_0$, ce qui met en mouvement la tige mobile. Déterminer l’équation mécanique.
rail de Laplace
La force de Laplace subie par la tige vaut $\vec{F_L} = iaB\vec{e_x}$. Le théorème de la résultante cinétique appliqué à la tige en projection sur $\vec{e_x}$ donne donc : $$m\dfrac{\text{d}v_x}{\text{d}t}=iaB$$
On considère toujours les rails de Laplace en fonctionnement moteur. Déterminer l’équation électrique, prenant en compte la résistance $R$ des rails.
rail de Laplace
Compte tenu de l’orientation (conventionnelle) de $i$, le vecteur normal au circuit est $+\vec{e_z}$, donc le flux magnétique vaut $\Phi = +Bax$. D’après la loi de Faraday la fém induite vaut $e = −aBv_x$, orientée en convention récepteur. On en déduit le schéma électrique équivalent :
rail de Laplace
D’après la loi des mailles, l’équation électrique s’écrit : $$E_0 − aBv_x = Ri$$
On considère des rails de Laplace en fonctionnement générateur : un opérateur tracte la tige mobile avec une force $\vec{F_0}$, ce qui créé un courant induit dans le système. Le sens choisi positif du courant étant indiqué sur le schéma, déterminer le signe de $i_\text{ind}$ à partir de la loi de Lenz.
rail de Laplace
Sous l’effet de la force $\vec{F_0}$, la surface du circuit augmente, donc le flux magnétique augmente. D’après la loi de Lenz, le champ induit $\vec{B}_\text{ind}$ va atténuer cette augmentation : il est donc opposé à $\vec{B}$ et porté par $-\vec{e_z}$. Par la règle de la main droite, on en déduit le sens réel du courant induit qui créé ce champ $\vec{B}_\text{ind}$, puis le signe : $$i_\text{ind} < 0$$ Un autre raisonnement se base sur le fait que les actions de Laplace induites sont toujours résistives. Sous l’effet de la force $\vec{F_0}$, la tige se déplace selon $+\vec{e_x}$, donc d’après la loi de Lenz la force de Laplace induite s’oppose à ce mouvement : elle est donc dirigée selon $−\vec{e_x}$. On en déduit le sens réel du courant induit qui créé cette force, puis le signe : $$i_\text{ind} < 0$$
On considère toujours les rails de Laplace en fonctionnement générateur ci-dessous. Établir l’équation mécanique.
rail de Laplace
La tige est soumise à la force $\vec{F_0}$ et à la force de Laplace induite $\vec{F_L}=iaB\vec{e_x}$ (qui est bien dirigée selon $-\vec{e_x}$ car $i < 0$). Le théorème de la résultante cinétique donne : $$m\dfrac{\text{d}v_x}{\text{d}t}=F_0+iaB$$
Rappeler la relation entre la puissance des actions mécaniques de Laplace et la puissance fournie par le générateur induit.
La conversion électromécanique se fait avec un rendement de 1, c’est-à-dire qu’il y a égalité en valeur absolue entre la puissance mécanique des actions de Laplace et la puissance électrique fournie par le générateur induit. Algébriquement : $$\vec{F_L}\cdot\vec{v}+e_\text{ind}i=0$$
Rappeler la méthode à suivre pour procéder à un bilan de puissance.
Il faut multiplier l’équation électrique par $i$ et l’équation mécanique par $v$ (translation) ou $\dot{θ}$ (rotation), puis sommer les deux équations de telle sorte à faire disparaître le terme croisé impliquant à la fois l’intensité et la vitesse.

Note :
 
Équations de Maxwell
Qu'est ce qu'un milieu conducteur?
Un milieu conducteur est un milieu contenant un ensemble de charges mobiles, c'est-à-dire capables de se déplacer sur une distance grande devant le libre parcours moyen d'un de ses constituants.
Rappeler l'unité de la conductivité $\gamma$ ainsi que son ordre de grandeur pour un :
  • bon conducteur
  • isolant
La conductivité $\gamma$ est une grandeur positive qui s'exprime en $\Omega^{-1}.\text{m}^{-1}$. Son ordre de grandeur est :
  • bon conducteur : $\gamma=5.10^7~\Omega^{-1}.\text{m}^{-1}$ ;
  • isolant : $\gamma=1.10^{-11}~\Omega^{-1}.\text{m}^{-1}$ .
Exprimer la relation entre la densité volumique de charge locale au point $M$ et la charge macroscopique $\delta Q$ contenue dans le volume mésoscopique fini $\delta V$ centré en $M$.
La relation demandée s'écrit : $$\delta Q= \rho(M)\text{d}V$$
Exprimer la relation l'intensité électrique qui traverse une surface finie $S$ et le vecteur densité volumique de courant $\vec{j}$.
La relation est : $$i=\iint_{M\in S} \vec{j}\cdot\vec{\text{d} S}$$
Rappeler l'expression de la loi locale de conservation de la charge électrique.
La loi de la conservation de la charge s'écrit : $$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\text{div}\vec{j}=0$$
Rappeler l'expression de la loi intégrale de conservation de la charge électrique macroscopique $Q$ contenue dans un volume fini $V$, délimité par une surface $S_V$ fermée, et parcouru par un vecteur densité de courant $\vec{j}$.
La relation s'écrit : $$\frac{\text{d} Q}{\text{d}t}+\subset\kern-.5em\supset\kern-1.3em\iint_{S_V}\vec{j}\cdot\vec{\text{d} S}=0$$
Rappeler l'expression de la loi d'Ohm locale.
Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope, et si le gradient de potentiel n’est pas trop élevé, le vecteur densité volumique de courant vérifie la loi d’Ohm locale : $$\vec{j}=\gamma\vec{E}$$
Rappeler l'expression et le nom des équations locales de Maxwell.
Les équations locales de Maxwell sont :
  • Maxwell-Gauss : $\text{div}\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$,
  • Maxwell-Ampère : $\vec{\text{rot}}\vec{B}=\mu_0\vec{j}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$,
  • Maxwell-Faraday : $\vec{\text{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$,
  • Maxwell-Thomson : $\text{div}\vec{B}=0$.
Rappeler l'expression et le nom des équations intégrales de Maxwell.
Les équations intégrales de Maxwell sont :
  • Théorème de Gauss : $\subset\kern-.5em\supset\kern-1.3em\iint_{S_G}\vec{E}\cdot\vec{\text{d} S}=\frac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0}$,
  • Théorème d'Ampère (régime permanent ou ARQS magnétique) : $\oint \vec{B}\cdot\vec{\text{d}\ell}=\mu_0 I_\text{enl}$,
  • Loi de Lenz : $e=-\frac{\text{d}}{\text{d} t}\iint_S\vec{B}\cdot\vec{\text{d} S}$,
  • Conservation du flux de $\vec{B}$ : $\subset\kern-.5em\supset\kern-1.3em\iint_S\vec{B}\cdot\vec{\text{d} S}=0$.
Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie électromagnétique locale.
On appelle densité volumique d’énergie électromagnétique, la grandeurs scalaire notée $w_\text{em}$, exprimée en $\text{J.m}^{-3}$, qui vérifie : $$w_\text{em}=\frac{1}{2}\varepsilon_0\vec{E}^2+\frac{1}{2}\frac{\vec{B}^2}{\mu_0}$$
Rappeler l'expression de la densité volumique de puissance Joule.
La densité volumique de puissance Joule est : $$p_\text{Joule}=\vec{j}\cdot\vec{E}$$
Rappeler l'expression du vecteur de Poynting.
Le vecteur de Poynting est : $$\vec{\Pi}=\frac{1}{\mu_0}\vec{E}\wedge\vec{B}$$
Rappeler l'expression de la puissance électromagnétique rayonnée à travers une surface $S$.
La puissance électromagnétique rayonnée à travers $S$ est : $$\mathcal{P}_\text{ray}=\iint_S \vec{\Pi}\cdot\vec{\text{d} S}$$
Rappeler l'expression de l'équation locale de conservation de l'énergie électromagnétique ou équation locale de Poynting.
L'équation locale de Poynting est :
$$\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\varepsilon_0 \vec{E}^2}{2} +\frac{\vec{B}^2}{2\mu_0}\right)+\vec{j}\cdot\vec{E}+\text{div}\left(\frac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}\right)=0$$
Rappeler l'expression de l'équation intégrale de conservation de l'énergie électromagnétique ou théorème de Poynting.
Le théorème de Poynting est :
$\frac{\text{d}}{\text{d}t}W_\text{em}+\iiint_V\vec{j}\cdot\vec{E}\text{d}V+ \subset\kern-.5em\supset\kern-1.3em\iint_S \frac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}\cdot\vec{\text{d}S}=0$

Note :
 
Électrostatique
Que deviennent les équations de Maxwell dans le cadre des régimes permanents?
Les équations de Maxwell deviennent :
  • Maxwell-Gauss : $\text{div}\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$,
  • Maxwell-Ampère : $\vec{\text{rot}}\vec{B}=\mu_0\vec{j}$,
  • Maxwell-Faraday : $\vec{\text{rot}}\vec{E}=0$,
  • Maxwell-Thomson : $\text{div}\vec{B}=0$.
Exprimer le champ électrostatique $\vec{E}(M)$ dû à une charge ponctuelle $q_0$ placée en $O$, en tout point de l'espace.
Le champ demandé est : $$\vec{E}(M)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_0}{r^2}\vec{u_r}$$ où $r=OM$ et $\vec{u_r}=\frac{\vec{OM}}{r}$.
Représenter le vecteur champ électrostatique en deux points de l'espace $M$ et $M'$ symétriques l'un de l'autre par un plan $\Pi^+$ de symétrie des charges électriques sources.
Le champ électrostatique en $M$ et $M'$ vérifie le schéma ci-dessous :
symétries du champ électrique
Représenter le vecteur champ électrostatique en deux points de l'espace $M$ et $M'$ symétriques l'un de l'autre par un plan $\Pi^-$ d'anti-symétrie des charges électriques sources.
Le champ électrostatique en $M$ et $M'$ vérifie le schéma ci-dessous :
Rappeler la définition d'une distribution de sources invariante.
On qualifie la distribution d’une grandeur physique d’invariante par une transformation géométrique donnée, si cette distribution ne peut être changée par une transformation géométrique particulière (rotation, translations, ...).
Rappeler l'énoncé du principe de Curie.
Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits.
Rappeler l'expression du théorème de Gauss.
Le flux du champ électrostatique $\vec{E}$ à travers toute surface fermée $S_G$ vérifie : $$\subset\kern-.5em\supset\kern-1.3em\iint_{S_G}\vec{E}\cdot\vec{\text{d} S}=\frac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0}$$ où $\varepsilon_0$ est la permittivité du vide et $Q_\text{int}$ est la charge totale présente dans le volume $V$ délimité par la surface fermée $S_G$.

Note :
 
Magnétostatique
On observe le champ magnétique $\vec{B}(M)$ dans un plan, dû à un fil électrique parcouru par un courant $I$ représenté par le point rouge. Dans quel sens circule ce courant?
circulation du champ magnétique
La règle de la main droite permet de conclure que le courant $I$ circule vers le lecteur.
Quel est l'ordre de grandeur du champ magnétique terrestre, et de celui qui règne dans un IRM?
Le champ magnétique terrestre a une valeur de l'ordre de $10^{-5}~\text{T}$, celui d'un IRM est de l'ordre de $1\text{ à }10~\text{T}$.
Représenter le vecteur champ magnétostatique en deux points de l'espace $M$ et $M'$ symétriques l'un de l'autre par un plan $\Pi^+$ de symétrie des courants électriques sources.
Le champ magnétostatique en $M$ et $M'$ vérifie le schéma ci-dessous :
symétries du champ magnétique
Représenter le vecteur champ magnétostatique en deux points de l'espace $M$ et $M'$ symétriques l'un de l'autre par un plan $\Pi^-$ d'anti-symétrie des courants électriques sources.
Le champ magnétostatique en $M$ et $M'$ vérifie le schéma ci-dessous :
anti-symétries du champ magnétique
Rappeler l'expression du théorème d'Ampère.
La circulation du champ magnétostatique $\vec{B}$ le long d’une boucle $\mathcal{C}$ orientée et fermée vérifie : $$\oint\vec{B}\cdot\vec{\text{d}\ell}=\mu_0I_\text{enl}$$ où $\mu_0= 4\pi\times 10^{−7}~\text{H.m}^{−1}$ est la perméabilité magnétique du vide et $I_\text{enl}$ est la somme algébrique totale des courants traversant toute surface $S$ délimitée et orientée par $\mathcal{C}$.
Donner la valeur du courant enlacé par $\mathcal{C}$ dans la figure ci-dessous :
courants enlacés
Le courant enlacé par $\mathcal{C}$ est : $$I_\text{enl}=I_3-I_1-I_2$$

Note :
 
Régimes lentement variables (ARQS)
Donner une définition de l'approximation des régimes quasi-stationnaires.
On parle d’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) lorsque le temps caractéristique $\Delta t$ de modification des sources est grand devant le temps de propagation de l’onde électromagnétique $\tau_p$ : $$\Delta t\gg \tau_p = \frac{L}{c}$$ où $L$ est la distance qui sépare la source du point $M$ étudié et $c$ la célérité de l'onde électromagnétique dans le milieu étudié.
Rappeler les conditions spécifiques associées à l'ARQS magnétique.
Dans le cadre de l’ARQS à dominante magnétique, les courants de déplacement $\vec{j}_D= \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ sont négligeables devant $\vec{j}$ : $$\left\|\vec{j}_D\right\| \ll \left\|\vec{j}\right\|$$
À partir de quelle pulsation limite l'ARQS magnétique est-elle valable dans un conducteur de conductivité $\gamma$?
L'ARQS magnétique est valable si $\frac{\left\|\vec{j}\right\|}{\varepsilon_0\left\|\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right\|}\gg 1$. On déduit de $\vec{j}=\gamma\vec{E}$ qu'il faut que $\frac{\gamma E}{\varepsilon_0 \omega E}\gg 1$, soit encore $$\omega \ll \frac{\gamma}{\varepsilon_0}$$
Que devient l'équation de Maxwell-Ampère dans le cadre de l'ARQS magnétique?
L'équation de Maxwell-Ampère devient : $$\vec{\text{rot}}\vec{B}=\mu_0\vec{j}$$

Note :
 
Propagation d'ondes électromagnétiques
Rappeler l'équation de propagation du champ électrique d'une onde électromagnétique se propageant dans le vide sans charge ou courant local.
Le champ électrique obéit à une équation de d'Alembert : $$\Delta \vec{E}-\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$
Exprimer le champ électrique d'une onde plane progressive sinusoïdale de pulsation $\omega$, polarisée selon $Oy$, se propageant dans le sens des $z$ décroissants.
Une onde plane progressive sinusoïdale polarisée selon $Oy$, se propageant dans le sens des $z$ décroissants s'écrit : $$\vec{E}(M,t) = E_0 \cos\left( \omega t + kz \right) \vec{u_y}$$
Décrire la nature (rectiligne, circulaire, elliptique) de la polarisation de l'onde
$\vec{E}(M,t)=E_0\left( \cos\left( \omega t - kz\right) \vec{u_x}+\sin\left( \omega t -kz\right) \vec{u_y}\right)$;
La norme du vecteur $\vec{E}$ reste constante, et observée dans un plan $z=\text{cste}$, par exemple $z=0$, le vecteur de polarisation de l'onde
$\vec{u}=\cos\left( \omega t - kz\right) \vec{u_x}+\sin\left( \omega t -kz\right) \vec{u_y}$
décrit un cercle à la vitesse angulaire $\omega$ dans le sens trigonométrique. Il s'agit donc d'une polarisation circulaire droite.
Décrire la nature (rectiligne, circulaire, elliptique) de la polarisation de l'onde
$\vec{E}(M,t)=E_x\cos \left( \omega t - kz\right) \vec{u_x}+E_y\sin\left( \omega t -kz \right) \vec{u_y}$, avec $E_x \neq E_y$
La norme du vecteur $\vec{E}$ varie au cours du temps ($E_x$ à $t=0$ en $z=0$ et $E_y$ en $t=\frac{\pi}{2\omega}$ en $z=0$). Si on l'observe dans un plan $z=\text{cste}$, par exemple $z=0$, le vecteur de polarisation de l'onde $\vec{u}$ décrit une ellipse à la vitesse angulaire $\omega$ dans le sens trigonométrique. Il s'agit donc d'une polarisation elliptique droite.
Quel instrument permet d'imposer une polarisation rectiligne à une onde électromagnétique?
Il s'agit d'un polariseur.
Écrire les équations de Maxwell, dans le vide, en l'absence de charge ou de courant local, pour une OPPS de vecteur d'onde $\vec{k}$.
Les équations de Maxwell sont alors :
$\left \lbrace \begin{array}{ll} \text{div}\vec{E}=0 & \Leftrightarrow \quad -\text{j}\vec{k}\cdot\underline{\vec{E}}=0\\ \vec{\text{rot}}\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} & \Leftrightarrow \quad -\text{j}\vec{k}\wedge\underline{\vec{B}}=\mu_0\varepsilon_0\text{j}\omega\underline{\vec{E}} \\ \text{div}\vec{B}=0 & \Leftrightarrow \quad -\text{j}\vec{k}\cdot\underline{\vec{B}}=0 \\ \vec{\text{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} & \Leftrightarrow \quad -\text{j}\vec{k}\wedge\underline{\vec{E}}=-\text{j}\omega\underline{\vec{B}} \end{array}\right.$
Exprimer les vecteurs $\vec{k}$, $\vec{E}$ et $\vec{B}$, à un instant $t$ quelconque, d'une OPPS polarisée selon $\vec{u_x}$ et se propageant selon $\vec{u_z}$
Le champ électrique complexe est de la forme
$\underline{\vec{E}}(M,t)=E_0\text{e}^{\text{j}(\omega t -kz)}\vec{u_x}$
le vecteur d'onde est de la forme $\vec{k}=+k\vec{u_z}$ et on déduit le champ magnétique de :
$\underline{\vec{B}}(M,t)=\frac{k\vec{u_z}\wedge \underline{E}(M,t)\vec{u_x}}{\omega}=\frac{E_0}{c}\text{e}^{\text{j}(\omega t -kz)}\vec{u_y}$
Établir la relation de structure liant $k$ et $\omega$ d'une OPPS dans le vide.
L'expression du laplacien pour une OPPS en notations complexes, et celle de la dérivée seconde par rapport au temps permet d'établir que : $$k^2=\mu_0\varepsilon_0\omega^2$$
Que représente la grandeur $\varepsilon_0\mu_0$?
L'équation de d'Alembert de propagation de l'onde électromagnétique dans le vide permet de voir que cette grandeur est homogène à l'inverse d'une vitesse au carré. On pose $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu0}}\simeq 3.10^8~\text{m.s}^{-1}$ la célérité d'une onde électromagnétique dans le vide.
Établir l'équation de propagation d'une onde électromagnétique dans un conducteur ohmique de conductivité $\gamma$ dans le cadre de l'ARQS magnétique.
Dans le cadre de l'ARQS magnétique, et en utilisant la loi d'Ohm locale, l'équation de propagation d'une onde électromagnétique devient : $$\Delta \vec{E}=\mu_0\gamma\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$
Établir la relation de dispersion liant le vecteur d'onde $k$ et la pulsation $\omega$ d'une OPPS électromagnétique dans un conducteur ohmique de conductivité $\gamma$ dans le cadre de l'ARQS magnétique.
L'équation de propagation $\Delta \vec{E}=\mu_0\gamma\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ devient : $$k^2=-\text{j} \mu_0\gamma\omega$$
Déduire de la relation $k^2=-\text{j}\mu_0\gamma\omega$, l'expression de l'épaisseur de peau $\delta$ dans laquelle l'onde électromagnétique pénètre le conducteur ohmique.
On déduit de la relation donnée $k=\pm(1-\text{j})\sqrt{\frac{\mu_0\gamma\omega}{2}}$ dont la partie réelle donne l'épaisseur de peau : $$\delta=\sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma\omega}}$$
Quelles sont les propriétés associées à un conducteur ohmique parfait ou idéal?
Un conducteur ohmique idéal se caractérise par une conductivité $\gamma$ infinie, ce qui donne une épaisseur de peau $\delta$ nulle, donc un champ électrique interne $\vec{E}=\vec{0}$, ce qui implique un champ magnétique $\vec{B}=\vec{0}$. Ce conducteur ne subit donc aucune perte Joule volumique, et le courant volumique $\vec{j}$ qui le traverse est nul. Il peut exister néanmoins un courant surfacique $\vec{j}_s$ non nul.
Une OPPS incidente $\vec{E}_i=E_0\cos\left(\omega t -kz \right)\vec{u_x}$ arrive sur un conducteur idéal qui occupe le demi-espace $z>0$. Donner l'expression de l'OPPS réfléchie.
L'OPPS réfléchie est : $$\vec{E}_r=-E_0\cos\left(\omega t +kz \right)\vec{u_x}$$
Une OPPS incidente $\vec{E}_i=E_0\cos\left(\omega t -kz \right)\vec{u_x}$ arrive sur un conducteur idéal qui occupe le demi-espace $z>0$. Donner l'expression du champ électrique total résultant.
Le champ électrique total est :
$\vec{E}=\vec{E}_i+\vec{E}_r=2E_0\sin\left(\omega t\right)\sin\left(kz \right)\vec{u_x}$

Note :