CPGE Sciences Physiques

• On appelle signal les variations dans le temps d’une grandeur physique qui donnent accès à une information.
• On appelle signal périodique un signal qui se répète identique à lui-même au bout d’un temps $T$ appelé période : $s(t + T ) = s(t)$ .
• La fréquence $f$ est l’inverse de la période : $f=\frac{1}{T}$ et s'exprime en hertz : $1~\text{Hz} = 1~\text{s}^{−1}$.

On appelle amplitude d’un signal périodique l’écart entre les valeurs extrêmes et la moyenne : $$S_m =S_\text{max}−\left\langle s\right\rangle = \left\langle s\right\rangle −S_\text{min}$$ Par définition, l’amplitude est toujours positive.

On appelle valeur moyenne d'un signal périodique $s$ de période $T$, la grandeur : $$\left\langle s \right\rangle_T=\dfrac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}s(t)\text{d}t$$

Un signal $s(t)$ harmonique peut s'écrire sous la forme : $$s(t)=S_0\cos\left(\omega t + \varphi\right)$$ où $S_0$ est l'amplitude du signal, $\Phi(t)=\omega t + \varphi$ est la phase instantannée, $\omega=2\pi f$ est la pulsation du signal (en $\text{rad.s}^{-1}$) et $\varphi$ est la phase à l'origine.

Deux signaux sont synchrones si ils ont la même pulsation $\omega$.

Deux signaux sont déphasés s'ils sont synchrones et de phase à l'origine différente. On appelle déphasage la grandeur : $$\Delta \varphi_{12}=\varphi_2-\varphi_1$$

Tout signal réel (réalisable en pratique) peut se décomposer en une somme de signaux harmoniques, $$s(t) = \sum_k A_k \cos\left(2\pi f_k t + \varphi_k\right)$$

On appelle onde le phénomène de propagation d’un signal de proche en proche sans qu’il n’y ait déplacement de matière entre la source de l'onde et le lieu d’observation.

On appelle onde harmonique une onde telle que le signal associé, mesuré en n’importe quel point de l'espace, est harmonique de pulsation $\omega$ indépendante du point.

Une onde plane progressive harmonique s'écrit : $$s(x,t)=S_0\cos\left(\omega t -kx+\varphi\right)$$ où $S_0$ est l'amplitude de l'onde, $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$ est la norme du vecteur d'onde, et $\varphi$ est la phase à l'origine de l'onde.

On a les relations suivantes : $$\left\lbrace\begin{array}{l} \omega = 2\pi f =\dfrac{2\pi}{T}\\ k = \dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{\omega}{c} \end{array}\right.$$

On observe des interférences destructives lorsqu'on superpose deux ondes de même pulsation et de phases vérifiant $\Delta \varphi=\pi~\left[2\pi\right]$.
On observe des interférences constructives lorsqu'on superpose deux ondes de même pulsation et de phases vérifiant $\Delta \varphi=0~\left[2\pi\right]$.

Une onde est dite stationnaire lorsqu’elle décrit une oscillation sans propagation mais oscillant sur place.
Mathématiquement, elle s’écrit sous la forme : $$s(x, t) = S_0 \cos\left(\omega t + \varphi\right)\cos\left(kx + \psi\right)$$ où $k$ et $\omega$ sont reliés par $\omega = kc$

On appelle modes propres d'une onde stationnaire harmonique les pulsations compatibles avec les conditions aux limites imposées à l'onde stationnaire.

La célérité de la lumière est : $$c\simeq 3.10^8~\text{m.s}^{-1}$$ La gamme de longueur d'onde du rayonnement visible est : $$400~\text{nm}\leq \lambda \leq 800~\text{nm}$$

L'indice optique est défini par : $$n=\dfrac{c}{v}\geq 1$$ où $c$ est la célérité de la lumière dans le vide et $v$ celle de la lumière dans le milieu étudié.

On appelle source ponctuelle de lumière une source infiniment petite (assimilable à un point) qui émet de la lumière de façon équirépartie dans toutes les direction : on parle d’émission isotrope.

Un rayon lumineux est une ligne le long de laquelle l’onde lumineuse se propage.

Le principe de retour inverse de la lumière dit que si un rayon peut emprunter un trajet dans un sens, alors ce même trajet peut aussi être emprunté dans l’autre sens.

Dans un milieu linéaire homogène isotrope, la lumière se propage en ligne droite. Les rayons lumineux sont donc des segments de droite.

Le modèle géométrique de propagation de la lumière est pertinent tant que la taille des ouvertures traversées par la lumière est beaucoup plus grande que la longueur d’onde.

Les lois de Snell-Descartes sont :

• les rayons incidents, réfléchis et transmis (réfractés) sont coplanaires,
• loi de la réflexion : le rayon réfléchi et le rayon incident sont situés de part et d’autre de la normale au dioptre et forment avec la normale des angles orientés opposés : $$r=-i$$
• loi de la réfraction : lorsqu’il existe, le rayon réfracté et le rayon incident sont situés de part et d’autre de la normale au dioptre et forment avec la normale des angles dépendant des indices des milieux : $$n_1 \sin i =n_2 \sin t$$

On appelle objet réel ponctuel un point d’où partent effectivement des rayons lumineux qui entrent dans $\mathcal{S}$. On appelle objet réel un ensemble de points objets réels pour $\mathcal{S}$.
On appelle image réelle ponctuelle un point d’où arrivent effectivement des rayons lumineux qui sortent de $\mathcal{S}$. On appelle image réelle un ensemble de points images réels pour $\mathcal{S}$.

On appelle point objet virtuel un point vers lequel convergent les rayons qui entrent dans $\mathcal{S}$ sans s'y croiser réellement. Seul leurs prolongements rectilignes se croisent.
On appelle point image virtuel un point d'où semble provenir les rayons qui sortent de $\mathcal{S}$ sans s'y croiser réellement. Seul leurs prolongements rectilignes se croisent.

Cette phrase signifie que $A$ et $A'$ sont objets et images ponctuelles l'un de l'autre par le système optique $\mathcal{S}$. On le note : $$A \stackrel{\mathcal{S}}{\longmapsto} A'$$

Le schéma demandé est ci-dessous, avec $A$ l'objet ponctuel réel et $A'$ son image virtuelle. La relation de conjugaison est : $$\overline{HA'}+\overline{HA}=0$$

On appelle système optique centré un dispositif modifiant le trajet de la lumière dont les éléments ont un axe de symétrie commun noté $\Delta$ appelé axe optique. L’axe optique est orienté, le sens positif étant le sens de propagation de la lumière.

Un système optique est dit éclairé dans les conditions de Gauss lorsque les rayons qui le traversent sont :

• proches de l’axe optique à l’endroit où ils entrent dans le système optique ;
• peu inclinés par rapport à l’axe optique;

On qualifie les rayons de paraxiaux.

Un système optique est dit stigmatique lorsque l’image qu’il donne de tout point objet est un point image.

Un système optique est dit aplanétique si l’image d'un objet perpendiculaire à l'axe optique est elle-même perpendiculaire à l'axe optique.

On appelle grandissement transversal d’un objet étendu $AB$ perpendiculaire à l'axe optique $\Delta$ par un système optique aplanétique $\mathcal{S}$ la grandeur : $$\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$$ où $A\stackrel{\mathcal{S}}{\longmapsto} A'$ et $B\stackrel{\mathcal{S}}{\longmapsto} B'$.

Le foyer principal objet est le point $F$ de l'axe optique $\Delta$ de $\mathcal{S}$ tel que : $$F\stackrel{\mathcal{S}}{\longmapsto} A'_\infty$$ où $A'_\infty$ est le point à l'infini aval de $\Delta$.
Le foyer principal image est le point $F'$ de l'axe optique $\Delta$ de $\mathcal{S}$ tel que : $$A_\infty\stackrel{\mathcal{S}}{\longmapsto} F'$$ où $A_\infty$ est le point à l'infini amont de $\Delta$.

Un système optique est dit afocal s'il conjugue un point objet placé à l'infini $A_\infty$ avec un point image lui-même à l'infini $A'_\infty$.

Une lentille optique est un système optique à dioptres sphériques dont l'épaisseur est négligeable devant les rayons de courbures des dioptres qui la compose.

Les foyers objet et image d'une lentille mince sont :

• symétriques par rapport au centre optique de la lentille,
• lentille convergente : le foyer objet est en amont du centre optique, $\overline{FO} > 0$;
• lentille divergente : le foyer objet est en aval du centre optique, $\overline{FO} < 0$.

On appelle distance focale image la longueur algébrique : $$f' =\overline{OF'}$$ $f' > 0$ pour une lentille convergente et $f' < 0$ pour une lentille divergente.
On appelle vergence d’une lentille mince la grandeur, notée $V$ et exprimée en dioptries (symbole $\delta$), telle que : $$V = \dfrac{n}{f'}$$ où $n$ est l’indice optique du milieu dans lequel est placée la lentille.

La relation de conjugaison de Descartes est : $$\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}$$

La construction demandée est la suivante :

La construction demandée est la suivante :

La construction demandée est la suivante :

Le spectre d'une source de lumière LASER est représentée ci-dessous :

Le spectre d'une source spectrale de lumière est représentée ci-dessous :

Le spectre d'une source thermique de lumière est représentée ci-dessous :

La longueur du train d'onde est appelée longueur de cohérence temporelle $L_c$, et la durée est appelée temps de cohérence $\tau_c$. La relation qui les relie est $L_c=c\times \tau_c$ où $c$ est la célérité de la lumière dans le milieu de propagation.

La relation demandée est : $$\tau_c\times\Delta f\simeq 1$$

L'onde lumineuse s'écrit $s(M,t)=s_0\cos\left(\omega t - kz -\varphi_0\right)$, ou en notations complexes $\underline{s}(M,t)=s_0\text{e}^{\text{j}\left(\omega t -kz -\varphi_0\right)}$.

L'intensité d'une onde lumineuse est proportionnelle à la valeur moyenne de la norme du vecteur de Poynting, c'est à dire : $$I\propto \left\langle E(M,t)^2 \right\rangle_{T_\text{acq}} \propto \left\langle s(M,t)^2 \right\rangle_{T_\text{acq}}$$ où $T_\text{acq}$ est la durée d'acquisition du capteur utilisé.

L'intensité d'une onde lumineuse est proportionnelle à la valeur moyenne de la norme du vecteur de Poynting, la direction de propagation de l'onde est celle indiqué par le sens du vecteur de Poynting et correspond au tracé d'un rayon lumineux en optique géométrique.

Le chemin optique parcouru par un rayon lumineux entre les points $A$ et $B$ de sa trajectoire est : $$\mathcal{L}_{AB}=\int_A^B n(M)\text{d}\ell$$ Dans un milieu homogène, on a donc : $$\mathcal{L}_{AB}=n\times AB$$

La phase est : $$\Phi(M,t)=\omega t -\frac{2\pi}{\lambda_0}nSM - \varphi_0$$

Le théorème de Malus rappelle qu'apprès un nombre quelconque de réflexions et de réfractions sur des systèmes optiques, les rayons lumineux restent perpendiculaires aux surfaces d'ondes.

Une lentille convergente de distance focale image $f'$, placé à la distance $f'$ de la source d'onde sphérique permet de la transformer en onde plane.

Les capteurs quadratiques sont sensibles à l'intensité lumineuse, c'est à dire à la moyenne dans le temps du carré de la somme des ondes lumineuses : $$I(M)=\left\langle \left(s_1(M,t)+s_2(M,t)\right)^2\right\rangle_{T_\text{acq}}$$ où $T_\text{acq}$ est la durée d'acquisition du capteur.

La superposition d'ondes lumineuses en $M$ provoque des interférences si :

• les ondes sont isochrones : $\omega_1=\omega_2$,
• les ondes sont cohérentes, l'écart entre les phases à l'origine reste constant au cours du temps : $\Delta \varphi_0=\text{cste}$.

Dans le cas d'ondes non cohérentes ou non isochrones, l'intensité résultante est : $$I(M)=I_1(M)+I_2(M)$$

Dans le cas d'ondes cohérentes et isochrones, l'intensité résultante est : où $\Phi(M)=\vec{k_2}\cdot\vec{S_2M}-\vec{k_1}\cdot\vec{S_1M}$, avec $\vec{k_i}$ le vecteur d'onde de l'onde $s_i(M,t)$ issue de la source $S_i$.

L'ordre d'interférence est la grandeur sans dimension $p(M)$ qui vaut : $$p(M)=\dfrac{\Phi(M)}{2\pi}$$

En un point $M$ où les ondes interfèrent constructivement on a : $$p(M)\in\mathbb{Z}$$ En un point $M$ où les ondes interfèrent destructivement on a : $$p(M)+0,5\in\mathbb{Z}$$

La différence de marche est la grandeur : où $\lambda_0$ est la longueur d'onde dans le vide et $n$ l'indice optique du milieu de propagation de l'onde.

On appelle contraste ou visibilité la grandeur : $$V=\dfrac{I_\text{max}-I_\text{min}}{I_\text{max}+I_\text{min}}$$

Les interférences sont les plus faciles à observer pour : $$V=1$$

Dans le cas de la superposition de deux ondes isochrones, cohérentes et de même intensité, on a :

Un réseau est un dispositif optique composé d'uné série de motifs périodiques permettant la réflexion ou la transmission d'ondes lumineuses en vue d'obtenir des interférences.

On appelle pas du réseau, la distance $a$ qui sépare deux motifs consécutifs d’un réseau. Le pas du réseau est parfois donné à travers la densité linéique de traits esprimée en traits/mm.

Soit un réseau en transmission de pas $a$, sur lequel une onde plane arrive avec l’angle d’incidence $i$. Les seules ondes planes transmises par le réseau le sont avec un angle $t$ tel que : $$\dfrac{na}{\lambda_0}\left(\sin(i)-\sin(t)\right)=p,\text{ avec }p\in\mathbb{Z}$$

Le nombre $N$ de motifs éclairés n'a aucune influence sur la position des lieux d'interférences constructives, par contre il réduit la largeur de chacune des franges lumineuses ce qui lui permet de mieux séparer des longueurs d'onde incidentes proches.

Le dispositf est représenté ci-dessous :

La différence de marche est : $$\delta = n\dfrac{ay}{L}$$

La formule de Fresnel pour deux ondes lumineuses de même intensité $I_0$ permet de conclure que : $$I(M)=2I_0\left(1+\cos\left(\dfrac{2\pi}{\lambda_0} n\dfrac{ay}{L}\right)\right)$$ où $\lambda_0$ est la longueur d'onde dans le vide de la vibration lumineuse étudiée, et $n$ l'indice optique du milieu traversé.

On appelle interfrange la distance $i=M_{n+1}M_n$ qui sépare deux franges lumineuses d'ordre d'interférence tels que : $$p(M_{n+1})-p(M)=1$$ C'est également la périodicité spatiale de l'intensité résultante en $M$.

L'interfrange est la période spatiale de la figure d'interférence, soit : $$i=\dfrac{\lambda_0 L}{na}$$

La différence de chemin optique $SS_1M-SS_2M$ n'est pas modifiée et la figure d'interférence est inchangée.

La différence de chemin optique est modifiée, et rallonge le chemin optique $SS_2M$, la figure d'interférence est donc modifiée. Dans les hypotèses usuelles de petits angles, cette figure est décalée vers le bas, l'ordre zéro dans l'alignement de la droite $SO$ sans modification de l'interfrange.

La figure d'interférence sera brouillée si deux points sources $S$ et $S'$ appartenant à la source primaire donnent en $M$ des ordres d'interférence séparés de la valeur $\frac{1}{2}$, soit : $$\dfrac{naSS'}{\lambda_0D}=\dfrac{1}{2}\quad\Leftrightarrow\quad SS'=\dfrac{\lambda_0D}{2na}$$

Les ordres d'interférences $p_1(M)$ et $p_2(M)$ des longueurs d'ondes extrémales $\lambda_1$ et $\lambda_2$ de la source primaire doivent être séparés de $\frac{1}{2}$, soit :

Une simple lame de verre, appelée lame semi-réfléchissante, permet de diviser l'amplitude d'une onde lumineuses en utilisant les phénomènes de réflexion et de transmission.

Le dispositif contient une source étendue, une lame semi-réfléchissante et deux miroirs dont l'un est mobile.

Il faut ajouter une lame anti-calorique pour limiter l'échauffement des miroirs, une lame compensatrice pour assurer un même nombre de traversées du verre aux deux chemins optiques et un ensemble de vis de réglages de la position et inclinaison des miroirs. Le dispositif est alors :

Les deux miroirs doivent être parfaitement perpendiculaires, l'image du miroir mobile est alors parallèle au miroir fixe et forme donc une lame d'air d'épaisseur $e$ uniforme.

Le schéma suivant permet d'établir la différence de marche : On trouve alors : $$\delta=2ne\cos i$$

La figure d'interférence est un ensemble d'anneaux concentriques, appelés « anneaux d'égale inclinaison ». Ils sont localisés à l'infini.

Le contact optique est réalisé lorsque la différence de marche est nulle pour tout angle d'incidence $i$. La figure d'interférence est alors uniformément éclairée et sa couleur est appelée teinte plate.

Il faut d'abord placer les deux miroirs au contact optique, puis incliner très légèrement l'un d'entre eux.

La différence de marche est alors : $$\delta = 2n\alpha x$$ où $n$ est l'indice optique du milieu, $\alpha$ l'angle d'inclinaison d'un miroir par rapport à l'autre, et $x$ une coordonnée du miroir fixe.

La figure d'interférence est une succession de franges rectilignes, appelées « franges d'égales épaisseur ».

Cette figure d'interférence est localisée à proximité du miroir fixe et de l'image du miroir mobile.

Ce blanc est appelé « blanc d'ordre supérieur » et son spectre montre l'absence de certaines longueurs d'ondes qui interfèrent destructivement. On parle de « spectre cannelé »