Carte mémoire d'outils mathématiques (flashcards)

Algèbre

Développer les parenthèses :
        $$6a(-4a+6b)$$  
$$6a(-4a+6b)=-24a^2+36ab$$      

Développer les parenthèses :
        $$(2a+b)(a-b)$$  

    $(2a+b)(a-b)=2a^2-b^2-ab$

Développer les parenthèses :
        $$(2a-b)^2$$  
$$(2a-b)^2=4a^2-4ab+b^2$$

Développer les parenthèses :
        $$(2a-b)^2$$  
$$(2a-b)^2=4a^2-4ab+b^2$$      

Factoriser au maximum :
        $$a^2(b+1)+a(b+1)$$  

      $a^2(b+1)+a(b+1)=a(b+1)(a+1)$

Factoriser au maximum :
        $$(a-5)^2-(a+4)^2$$  
$$(a-5)^2-(a+4)^2=-9(2a-1)$$

Factoriser au maximum :
        $$a^3-a$$  

      $a^3-a=a(a^2-1)=a(a+1)(a-1)$

Réduire au dénominateur commun :
        $$\dfrac{1}{a-3}+\dfrac{1}{a+3}$$  
$$\dfrac{1}{a-3}+\dfrac{1}{a+3}=\dfrac{2a}{(a-3)(a+3)}$$      

Réduire au dénominateur commun :
        $$\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{b}{a+b}$$  
$$\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$

Note :

Suites & limites de suites

Définir une suite arithmétique.  
Une suite arithmétique est une suite de nombre $a_1,~a_2,...,~a_n$ telle que la différence
        entre deux termes consécutifs de la suite $a_k-a_{k-1}$ est constante.      

Soit la suite arithmétque $a_1,~a_2,...$, exprimer :
        $$\sum_{k=1}^N a_k$$  
La somme d'une suite arithmétique est :
        $$\sum_{k=1}^N a_k=\dfrac{N}{2}(a_1+a_N)$$      

Calculer $\sum_{k=0}^{14}(5k+3)$  
La suite proposée est une suite arithmétique car
        
        $a_k-a_{k-1}=5k+3-(5(k-1)+3)=5=\text{cste}$
        
 On a donc
        $$\sum_{k=0}^{14}(5k+3)=\dfrac{15}{2}(3+73)=570$$

Définir une suite géométrique.  
Une suite géométrique de raison $r$ est une suite de nombre $a_1,~a_2,...,~a_n$ tels que $a_{k+1}=a_kr$.      

Soit la suite géométrique $a_1,~a_2,...$ de raison $r\neq 1$ exprimer :
        $$\sum_{k=1}^N a_k=\sum_{k=1}^N ar^k$$  
La somme d'une suite géométrique est :
        $$\sum_{k=1}^N a_k=\dfrac{a(1-r^k)}{1-r}$$      

Calculer $\sum_{k=0}^{5}2\left(\frac{1}{2}\right)^k$  
La suite proposée est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$. On a donc
        $$\sum_{k=0}^{5}2\left(\frac{1}{2}\right)^k=2\dfrac{1-\dfrac{1}{32}}{1-\dfrac{1}{2}}$$

Donner la limite de la suite suivante :
        $$\lim_{n\to+\infty}r^n,~\text{pour tout nombre }r>1$$  
La limite demandée est :
        $$\lim_{n\to+\infty}r^n=+\infty$$      

Donner la limite de la suite suivante :
        $$\lim_{n\to+\infty}r^n,~\text{pour tout nombre }|r|<1$$  
La limite demandée est :
        $$\lim_{n\to+\infty}r^n=0$$      

Donner la limite de la suite suivante :
        $$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^p}{a^n},~\text{pour tout nombre }a>1$$  
La limite demandée est :
        $$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^p}{a^n}=0$$

Donner la limite de la suite suivante : $$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{a^n}{n!}$$

La limite demandée est : $$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0$$

Donner la limite de la suite suivante : $$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n!}{n^n}$$

La limite demandée est : $$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0$$

Note :

Équations du premier & second ordre, systèmes

Chercher la valeur de $x$ qui satisfait à l'équation suivante :
        $$-x+15=6-4x$$  
La valeur de $x$ qui satisfait à l'équation est :
        $$x=-3$$      

Ré-écrire l'inégalité sous la forme $ a < x < b $ :
        $$ -3 < -x+1 < 2$$  
L'inégalité se ré-écrit :
        $$ -1 < x < 4$$      

Déterminer les valeurs de $x$ solutions de l'équation :
        $$\dfrac{2x}{3x-4}=-1$$  
Le domaine de validité de l'équation exclue la valeur $x=\frac{4}{3}$ et la solution est :
        $$x=\dfrac{4}{5}$$

Déterminer les valeurs de $x$ solutions de l'équation :
        $$\dfrac{4-4x}{x-1}=-3$$  
Le domaine de validité de l'équation exclue la valeur $x=1$ et l'équation n'admet donc
        aucune solution      

Déterminer les solutions à l'équation du second ordre :
        $$x^2+4x+1=0$$  
Les solutions sont :
        $$x=-2\pm\sqrt{3}$$      

Déterminer les solutions à l'équation du second ordre :
        $$x^2-4x+8=0$$  
Les solutions sont :
        $$x=2\pm 2\text{i}$$

Résoudre le système suivant : $$ \left\lbrace\begin{array}{l} 2x+3y=4 \\ 3x-2y=6 \end{array}\right. $$

Le système a pour unique solution : $$\left\lbrace\begin{array}{l} x=2 \\ y=0 \end{array}\right.$$

Note :

Géométrie du plan & de l'espace

Établir l'équation de la droite passant par les points $(3,0)$ et $(0,3)$.  
La droite demandée a pour équaiton :
        $$y=3-x$$      

Établir les coordonnées du point d'intersection entre les droites d'équation $y=-\frac{2}{5}x+\frac{9}{5}$ et $y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$  
Le point d'intersection vérife : $
        \left\lbrace\begin{array}{l}
        y=-\frac{2}{5}x+\frac{9}{5} \\
        y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}
        \end{array}\right.
        $ et est donc :
        $$M=(2,1)$$      

Calculer la distance entre les points $M(-1,1)$ et $M'(3,-1)$.  
la distance vaut :
        
        $d=||\vec{MM'}||=\sqrt{(3+1)^2+(-1-1)^2}=2\sqrt{5}$

Exprimer l'équation de la droite passant par $A(1,1)$ et perpendiculaire au
        vecteur $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}3 \\ 2\end{array}\right)$.  
Une droite perpendiculaire à $\vec{n}$ a pour équation $3x+2y+c=0$ et en remarquant que les
        coordonnées de $A$ doivent être solution, il vient :
        $$3x+2y-5=0$$      

Calculer le produit scalaire de $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}3 \\ 2\end{array}\right)$ et
        $\vec{b}=\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)$  
Le produit scalaire est donc :
        $$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times 1 + 2\times(-1)=1$$      

Calculer le produit vectoriel de $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ et
        $\vec{b}=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\ 3\end{array}\right)$  
Le produit vectoriel est donc :
        $$\vec{a}\wedge\vec{b}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -6 \\ 3\end{array}\right)$$

Établir l'équation du cercle de rayon $r=2$ et de centre $M(3,1)$.

Le cercle a pour équation : $$(x-3)^2+(y-1)^2=2^2=4$$

Établir le centre et le rayon du cercle d'équation : $$x^2+y^2+4x-2y+1=0$$

Cette équation peut également s'écrire $(x+2)^2+(y-1)^2=4$, soit le centre $M(-2,1)$ et le rayon $r=2$.

Note :

Fonctions & trigonométrie

Établir l'équation de la fonction représentée par une droite passant par $M(2,-3)$ et de pente $m=4$.  
L'équation est de la forme $y=4x+b$, et sachant que cette droite par $M$, il vient :
        $$y=4x-11$$      

Déterminer les coordonnées du point $M$ sommet de la parabole d'équation $y=x^2+2x-3$.  
Le sommet de la parabole a une tangente horizontale, qui se trouve en $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x+2=0$,
      soit en $M(-1,-4)$      

Quelle est l'aire d'un disque de rayon $r$? En déduire celle d'un secteur d'angle au centre $\alpha$ de
      même rayon.  
L'aire du disque est $S=\pi r^2$, celle du secteur est :
      $$A=\dfrac{\alpha}{2}r^2$$

Soit le triangle rectangle ci-dessous. Exprimer les sinus, cosinus et tangente de l'angle $\alpha$ en fonction de $a$,
          $b$ et $c$.
          
On peut établir les relations :
          
          $\sin\alpha=\dfrac{a}{c}\quad\cos\alpha=\dfrac{b}{c}\quad\tan\alpha=\dfrac{a}{b}$
          
Développer les relation $\cos\left(a+b\right)$ et $\sin\left(a+b\right)$  
On a les relations suivantes :
        
        $\left\lbrace\begin{array}{l}
        \cos\left(a+b\right)=\cos a \cos b - \sin a \sin b \\
        \sin\left(a+b\right)=\sin a \cos b + \cos a \sin b
        \end{array}\right.$
        
Factoriser la relation $\cos p + \cos q$  
On a la relation suivante :
        
        $\cos p + \cos q = 2 \cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\times\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$

Établir une expression simplifiée des relations $e^x\times e^y$ (resp. $10^x\times 10^y$) et
        $\frac{e^x}{e^y}$ (resp. $\frac{10^x}{10^y}$).  
On peut écrire :
        $$\begin{array}{l}
        e^x\times e^y=e^{x+y}\qquad \frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}\\
        10^x\times 10^y=10^{x+y}\qquad \frac{10^x}{10^y}=10^{x-y}\\
        \end{array}$$      

Isoler $x$ dans la relation $\ln x = y$ (resp. $\log x = y$).  
On a :
        $$x=e^y\quad\left(\text{resp. }x=10^y\right)$$      

Développer l'expression : $\ln (a^2b)$.  
La relation demandée est :
        $$\ln(a^2b)=2\ln a + \ln b$$

Note :

Analyse

Exprimer la dérivée de $f(x)g(x)$  
La dérivée demandée est :
        $$\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$      

Calculer la dérivée de la fonction $\frac{f(x)}{g(x)}$.  
La dérivée demandée est :
        $$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$      

Calculer la dérivée de la fonction $f(g(x))$.  
La dérivée demandée est :
        $$\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))g'(x)$$

Calculer la dérivée de la fonction $f~:~x\mapsto 5\text{e}^{x^2-x+1}$.  
La dérivée demandée est :
        $$f'~:~x\mapsto 5(2x-1)\text{e}^{x^2-x+1}$$      

Calculer la dérivée de la fonction $f~:~x\mapsto 4\sin(kx+\varphi)$.  
La dérivée demandée est :
        $$f'~:~x\mapsto 4k\cos(kx+\varphi)$$      

Calculer la dérivée de la fonction $f~:~x\mapsto 5\ln(x^2-x+1)$.  
La dérivée demandée est :
        $$f'~:~x\mapsto \dfrac{10x-5}{x^2-x+1}$$

Calculer l'intégrale suivante : $\int_0^2(x^3+2x+1)\text{d}x$.  
On peut écrire :
        
        $$\int_0^2(x^3+2x+1)\text{d}x=\left[\dfrac{1}{4}x^4+x^2+x\right]_0^2=10$$
        
Calculer l'intégrale suivante : $\int_\pi^{-\pi}(1-\sin x)\text{d}x$.  
On peut écrire :
        
        $$\int_\pi^{-\pi}(1-\sin x)\text{d}x=\left[x+\cos x\right]_\pi^{-\pi}=-2\pi$$
        
Calculer l'intégrale suivante : $\int_1^{2}(\frac{1}{x^2})\text{d}x$.  
On peut écrire :
        
        $$\int_1^2(\frac{1}{x^2})\text{d}x=\left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^2=\dfrac{1}{2}$$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $$a\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}+bu=c$$
        ayant pour condition $u(x=0)=0$.  
La solution particulière est $u_p=\frac{c}{b}$ et la solution homogène est $u_h(x)=A\text{e}^{-\frac{b}{a}x}$.
        La condition $u(x=0)=0$ se traduit par $u(x=0)=u_p+u_h(x=0)=\frac{c}{b}+A$. On en déduit :
        
        $$u(x)=\dfrac{c}{b}\left(1-\text{e}^{-\frac{b}{a}x}\right)$$
        
Résoudre l'équation différentielle suivante : $$a\dfrac{\text{d}^2u}{\text{d}x^2}+au=b$$
        ayant pour conditions $u(x=0)=\frac{b}{a}$ et $\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}(x=0)=b$.  
La solution particulière est $u_p=\frac{b}{a}$ et la solution homogène dépend du signe du discriminant
        de l'équation caractéristique $ax^2+a=0$, soit $\Delta = -4a^2<0$. Les solutions complexes
        conjuguées sont $r_\pm=\pm \text{i}$.
        Ici, comme $\Delta < 0$, $$u_h(x)=A\text{cos}\left(x+\varphi\right)$$
        La condition $u(x=0)=0$ se traduit par $u_p+u_h(x=0)=\frac{b}{a}+A\text{cos}\left(\varphi\right)=\frac{b}{a}$.
        On en déduit : $\varphi=\frac{\pi}{2}$.

        La condition $\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}(x=0)=b$ se traduit par $-A\text{sin}\left(\frac{\pi}{2}\right)=b$.
        On en déduit : $A=-b$ et finalement :
        
        $$u(x)=\dfrac{b}{a}-b\text{cos}\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$$
        
Résoudre l'équation différentielle suivante : $$\dfrac{\text{d}^2u}{\text{d}x^2}+b\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}+b^2u=d$$
        ayant pour conditions $u(x=0)=\frac{d}{b^2}$ et $\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}(x=0)=\frac{\sqrt{3b^2}}{2}$.  
La solution particulière est $u_p=\frac{d}{b^2}$ et la solution homogène dépend du signe du discriminant
        de l'équation caractéristique $x^2+bx+b^2=0$, soit $\Delta = -3b^2<0$. Les solutions complexes
        conjuguées sont $r_\pm=\frac{-b\pm\text{i}\sqrt{3b^2}}{2}$.
        Ici, comme $\Delta < 0$, $$u_h(x)=A\text{e}^{\frac{-b}{2}x}\text{cos}\left(\frac{\sqrt{3b^2}}{2}x+\varphi\right)$$
        La condition $u(x=0)=0$ se traduit par $u_p+u_h(x=0)=\frac{d}{b^2}+A\text{cos}\left(\varphi\right)=\frac{d}{b^2}$.
        On en déduit : $\varphi=\frac{\pi}{2}$.

        La condition $\frac{\text{d}u}{\text{d}x}(x=0)=\frac{\sqrt{3b^2}}{2}$ se traduit par $-A\frac{\sqrt{3b^2}}{2}\text{sin}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sqrt{3b^2}}{2}$.
        On en déduit : $A=-1$ et finalement :
        
        $$u(x)=\dfrac{d}{b^2}-\text{e}^{\frac{-b}{2}x}\text{cos}\left(\frac{\sqrt{3b^2}}{2}x+\dfrac{\pi}{2}\right)$$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $$\dfrac{\text{d}^2u}{\text{d}x^2}+b\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}-b^2u=d$$ ayant pour conditions $u(x=0)=-\frac{d}{b^2}$ et $\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}(x=0)=\sqrt{5b^2}$.

La solution particulière est $u_p=-\frac{d}{b^2}$ et la solution homogène dépend du signe du discriminant de l'équation caractéristique $x^2+bx-b^2=0$, soit $\Delta = 5b^2>0$. Les solutions réelles sont $r_\pm=\frac{-b\pm\sqrt{5b^2}}{2}$. Ici, comme $\Delta > 0$, $$u_h(x)=A\text{e}^{r_+ x}+B\text{e}^{r_- x}$$ La condition $u(x=0)=-\frac{d}{b^2}$ se traduit par $u_p+u_h(x=0)=-\frac{d}{b^2}+A+B=-\frac{d}{b^2}$. On en déduit : $A=-B$.
La condition $\frac{\text{d}u}{\text{d}x}(x=0)=\sqrt{5b^2}$ se traduit par $A(r_+-r_-)=A\sqrt{5b^2}=\sqrt{5b^2}$. On en déduit : $A=1$ et finalement :

$$u(x)=-\dfrac{d}{b^2}+\text{e}^{r_+ x}-\text{e}^{r_- x}$$

Note :

Analyse vectorielle

Soit le champ scalaire $T:M(x,y,z) \to T(x,y,z)$, exprimer le gradient de $T$
        en coordonnées cartésiennes.  
En coordonnées cartésiennes :
        
        $$\overrightarrow{\text{grad}}~T=\dfrac{\partial T}{\partial x}\vec{u_x}+
        \dfrac{\partial T}{\partial y}\vec{u_y}+\dfrac{\partial T}{\partial z}\vec{u_z}$$
        
Soit le champ vectoriel $\overrightarrow{A}: M(x,y,z) \to \overrightarrow{A}(M)$ tel que
        
          $\overrightarrow{A}=A_x(M)\vec{u_x}+A_y(M)\vec{u_y}
        +A_z(M)\vec{u_z}$
        
        exprimer la divergence de $\overrightarrow{A}$ en coordonnées cartésiennes.  
En coordonnées cartésiennes :
        $$\text{div}~\overrightarrow{A}=\dfrac{\partial A_x}{\partial x}+
              \dfrac{\partial A_y}{\partial y}+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}$$      

Soit le champ vectoriel $\overrightarrow{A}: M(x,y,z) \to \overrightarrow{A}(M)$ tel que
        
        $\overrightarrow{A}=A_x(M)\vec{u_x}+A_y(M)\vec{u_y}
        +A_z(M)\vec{u_z}$
        
 exprimer le rotationnel de $\overrightarrow{A}$ en coordonnées cartésiennes.  
En coordonnées cartésiennes :
        $$\overrightarrow{\text{rot}}~\overrightarrow{A}=
        \left(\begin{array}{l}
        \dfrac{\partial A_z}{\partial y}-\dfrac{\partial A_y}{\partial z} \\
        \dfrac{\partial A_x}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x} \\
        \dfrac{\partial A_y}{\partial x}-\dfrac{\partial A_x}{\partial y}
        \end{array}\right)$$

Soit un volume $\mathcal{V}$, délimité par la surface fermée $S(\mathcal{V})$,
        orientée de l'intérieur vers l'extérieur, et un champ vectoriel $\overrightarrow{A}$ continument différentiable
        en tout point de l'intérieur de $\mathcal{V}$. Rappeler l'expression du théorème de Green-Ostrogradsky  
Le théorème de Green-Ostrogradsky appliqué au champ vectoriel $\overrightarrow{A}$ s'écrit :
        $$\iiint_\mathcal{V} \text{div} \overrightarrow{A}~\text{d}V
        =\subset\kern-.4em \supset\kern-1.6em \iint_{S_G} \vec{A}\cdot\overrightarrow{\text{d} S}$$      

Soit le champ scalaire $T:M(x,y,z) \to T(x,y,z)$, exprimer le laplacien de $T$
        en coordonnées cartésiennes.  
En coordonnées cartésiennes :
        
        $$\Delta T = \text{div}(\overrightarrow{\text{grad}})T=
        \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}+
        \dfrac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\dfrac{\partial T}{\partial z^2}$$
        
Soit le champ vectoriel $\overrightarrow{A}: M(x,y,z) \to \overrightarrow{A}(M)$ tel que
        
        $\overrightarrow{A}=A_x(M)\vec{u_x}+A_y(M)\vec{u_y}
        +A_z(M)\vec{u_z}$
        
 exprimer le laplacien de $\overrightarrow{A}$ en coordonnées cartésiennes.  
En coordonnées cartésiennes :
        
        $$
        \begin{array}{lr}
        \Delta \overrightarrow{A} &= \overrightarrow{\text{grad}}\left(\text{div}~\overrightarrow{A}\right)
        -\overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{\text{rot}}~\overrightarrow{A}\right) \\
         &= \Delta A_x \vec{u_x} + \Delta A_y \vec{u_y} + \Delta A_z \vec{u_z}
        \end{array}
        $$
        
        où $\Delta$ est ici l'opérateur laplacien scalaire.

Soit une surface $\mathcal{S}$, délimitée par le contour fermée et orienté $\mathcal{C}$, et un champ vectoriel $\overrightarrow{A}$ continument différentiable en tout point de $\mathcal{S}$. Rappeler l'expression du théorème de Stokes

Le théorème de Stokes appliqué au champ vectoriel $\overrightarrow{A}$ s'écrit : $$ \oint_\mathcal{C}\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\text{d}l}=\iint_\mathcal{S}\overrightarrow{\text{rot}}~\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{\text{d}S}$$

Développer l'expression $\overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{\text{rot}}~\overrightarrow{A}\right)$.

Quel que soit le système de coordonnées utilisé :

$$\overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{\text{rot}}~\overrightarrow{A}\right) =\overrightarrow{\text{grad}}\left(\text{div}~\overrightarrow{A}\right)-\Delta\overrightarrow{A}$$

Note :

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