Carte mémoire de thermodynamique (flashcards)

Introduction à la thermodynamique

Définir la vitesse quadratique moyenne.  
On appelle vitesse quadratique moyenne, la vitesse notée $\overline{u}$ définie par :
      $$\overline{u}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N v_i^2}$$
      où $N$ est le nombre de particules du système et $v_i$ la vitesse de la particule d'indice $i$.      

Relier la vitesse quadratique moyenne à la température (dite cinétique) d'un gaz parfait
        monoatomique.  
La vitesse quadratique moyenne et la température cinétique sont reliés par :
        $$\frac{1}{2}m\overline{u}^2=\frac{3}{2}k_B T$$ où $k_B=1,38.10^{-23}~\text{J.K}^{-1}$ est la constante de Boltzman.      

Rappeler la terminologie utilisée pour décrire les éventuels échanges du système avec le milieu extérieur.  
Un système peut être :
         isolé : les échanges de matière et d'énergie sont nuls,
 fermé : les échanges de matière sont nuls, mais ceux d'énergie sont possibles,
 ouvert : les échanges de matière et d'énergie sont possibles.

Qu'appelle-t-on état d'équilibre en thermodynamique?  
On appelle état d’équilibre, tout état dans lequel :
     les variables d’état du système thermodynamique sont stationnaires ;
 il n’y a plus d’échanges « énergétiques » avec le milieu extérieur.
      
Qu'appelle-t-on variable d'état en thermodynamique?  
On appelle variable d’état, toute grandeur physique indépendante permettant de
    décrire un système thermodynamique à l’état d’équilibre.      

Rappeler la définition d'une variable extensive et intensive. Classer alors les variables $P$, $T$, $n$, $V$
        $m$, et la concentration molaire $C$ dans l'un des deux groupes.  
Une variable est dite intensive lorsque sa valeur reste identique si on sépare le système
        en deux sous-systèmes de taille quelconque. Une variable est dite extensive dans le cas contraire.

        Les variables $P$, $T$, $C$ sont intensives et les variables $n$, $V$ et $m$ sont extensives.

Qu'est qu'une transformation thermodynamique?  
On appelle transformation thermodynamique, toute évolution d’un système
    thermodynamique, d’un état initial à l’équilibre thermodynamique, vers un état
    final également à l’équilibre thermodynamique.      

Rappeler l'équation d'état d'un gaz parfait.  
L'équation d'état d'un gaz parfait est : $$PV=nRT$$
        où $P$ est la pression, $V$ le volume, $n$ le nombre de mole, $T$ la température
        du système gaz parfait et $R\simeq 8,3~\text{J.mol}^{-1}.\text{K}^{-1}$ est la constante des gaz parfaits.      

Rappeler l'équation d'état d'une phase condensée incompressible et indilatable.  
L'équation d'état d'une phase condensée incompressible et indilatable est :
        $$V=\text{cste}=nV_{m}$$
        où $V_m$ est le volume molaire.

Note :

Principes de la thermodynamique

Qu'appelle-t-on transformation en thermodynamique?  
Une transformation est l'évolution d'un système thermodynamique d'un état d'équilibre initial $I$
        à un nouvel état d'équilibre final $F$ au cours de laquelle une ou plusieurs variables d'état évolue(nt).      

Rappeler le nom des transformations suivantes : à volume constant, à température constante,
        à énergie thermique constante, et à pression constante.  
Les transformation sont :
         à volume constant : isochore,
 à température constante : isotherme,
 à énergie thermique constante : adiabatique,
 à pression constante : isobare.
      
Définir une transformation quasistatique.  
Une transformation est dite quasistatique si elle est suffisamment lente pour
        permettre au système d'être à l'équilibre thermique et mécanique à tout instant de la transformation.

Rappeler la nature des divers échanges énergétiques entre un système et le milieu extérieur.
        Quel est le signe des valeurs associées lorsque l'énergie est effectivement reçue par le système?  
On distingue les échanges énergétiques thermiques $Q$ et de travail (souvent mécanique) $W$.
        Quel que soit le mode d'échange de l'énergie, son signe est positif si le système
        étudié reçoit effectivement cette énergie.      

Rappeler l'expression du travail des forces de pression reçu par un système thermodynamique.  
Le travail des forces de pression est :
        $$W=\int_I^F \delta W = \int_I^F -P_\text{ext}\text{d} V$$
        où $P_\text{ext}$ est la pression du milieu extérieur.      

Que devient l'expression du travail des forces de pression dans le cas d'une transformation quasistatique?  
Dans le cas d'une transformation quasistatique, le travail des forces de pression devient :
        $$W=\int_I^F \delta W = \int_I^F -P\text{d} V$$
        où $P$ est la pression du système thermodynamique.

Que devient l'expression du travail des forces de pression dans le cas d'une transformation isochore?  
Dans le cas d'une transformation isochore, le travail des forces de pression devient :
        $$W=0$$      

Que devient l'expression du travail des forces de pression dans le cas d'une transformation isobare?  
Dans le cas d'une transformation isobare, le travail des forces de pression devient :
        $$W= -P(V_F-V_I)$$
        où $P$ est la pression du système thermodynamique, $V_F$ (resp. $V_I$) est le volume du système
        à l'état final (resp. initial).      

Que devient l'expression du travail des forces de pression, dans le cas d'une transformation isotherme
        d'un gaz parfait?  
Dans le cas d'une transformation isotherme d'un gaz parfait, le travail des forces de pression devient :
        $$W= -nRT\ln\left(\dfrac{V_F}{V_I}\right)$$
        où $T$ est la température du système thermodynamique, $V_F$ (resp. $V_I$) est le volume du système
        à l'état final (resp. initial).

Rappeler l'énoncé du premier principe de la thermodynamique pour un système fermé.  
Il existe une fonction d'état, appelée énergie interne et notée $U$, extensive
        et additive, telle que :
        $$\Delta (\mathcal{E}_m+U)=Q+W_p+W_u$$
        où $\mathcal{E}_m$ est l'énergie mécanique du système, $W_p$ le travail des forces de pression
        reçu par le système, $W_u$ le travail des autres forces (travail utile)
        et $Q$ l'énergie thermique reçue par le système.      

Définir la fonction d'état enthalpie.  
La fonction d'état enthalpie $H$ est définie par :
        $$H=U+PV$$
        où $U$ est l'énergie interne, $P$ la pression et $V$ le volume du système étudié.      

Rappeler l'expression du premier principe pour un transformation monobare.  
Pour une transformation monobare, $P_I=P_F$, le premier principe s'écrit :
        $$\Delta (\mathcal{E}_m+H) = Q + W_{\neq P}$$
        où $W_{\neq P}$ est le travail des forces autres que de pression.

Rappeler l'expression des lois de Joule, reliant $U$ et $T$ ainsi que $H$ et $T$
        pour un gaz parfait et une phase condensée.  
Les lois de Joule s'écrivent :
        $\Delta H = C_p \Delta T$ et $\Delta U = C_v \Delta T$ pour un gaz parfait,
$\Delta H = C \Delta T\simeq \Delta U$ pour une phase condensée.
      
Rappeler la loi de Mayer ainsi que ces conditions d'applications.  
Pour un gaz parfait, la relation de Mayer donne :
        $$C_p=C_V+nR$$
        où $C_p$ est la capacité thermique à pression constante, $C_v$ est la capacité thermique à volume constant,
        $n$ est la quantité de matière du système, et $R$ la constante des gaz parfaits.      

Définir une transformation réversible.  
Une transformation $I\to F$ est dite réversible si la transformation inverse $F\to I$
        passant par les mêmes états d'équilibre intermédiaires est possible.

Rappeler l'expression du second principe de la thermodynamique des systèmes fermés.  
Il existe une fonction d'état, appelée entropie et notée $S$, additive et extensive,
        telle que :
        $$\Delta S=S_\text{ec}+S_\text{cr}$$
        où $S_\text{ec}=\frac{Q}{T_\text{ext}}$ est l'entropie échangée, et
        $S_\text{cr}\geq 0$ est l'entropie créée. Une entropie créée nulle signale une transformation réversible.      

Rappeler la loi de Laplace ainsi que ces conditions d'applications.  
Pour un gaz parfait, et lors d'une transformation adiabatique et réversible, on a :
        $$PV^\gamma=\text{cste}$$
        où $\gamma=\frac{C_p}{C_v}$ est le coefficient isentropique.      

Retrouver les trois expressions de la loi de Laplace.  
Avec les hypothèses précédentes, la loi de Laplace peut s'écrire :
        
          $$PV^\gamma=\text{cste}_1 \quad T^\gamma P^{1-\gamma}=\text{cste}_2 \quad T V^{\gamma-1}=\text{cste}_3$$

Note :

Machines thermiques en système fermé

Donner une définition d'une machine thermique cyclique.  
On appelle machine thermique cyclique un système thermodynamique échangeant du travail
        et de l'énergie thermique avec un milieu extérieur de manière cyclique.      

Écrire les principes de la thermodynamique pour toute machine ditherme cyclique.  
Les principes s'écrivent :
        
          $$\left\lbrace\begin{array}{l}
          \Delta_\text{cycle}U=0=W+Q_c+Q_f \\
          \Delta_\text{cycle}S=0=S_\text{cr}+S_\text{ec}=S_\text{cr}+\frac{Q_c}{T_c}+\frac{Q_f}{T_f}\\
          \end{array}\right.$$
        
Définir le rendement ou efficacité ou COP d'une machine thermique dans le cas général.  
Le rendement d'une machine thermique peut se définir par :
        $$\eta = \dfrac{E_\text{but}}{E_\text{coût}}$$

On donne ci-dessous le diagramme des échanges d'une machine thermique cyclique ditherme.
          Précisez le signe des échanges énergétiques ainsi que la nature du système et
          des divers milieux extérieurs pour un fonctionnement récepteur pompe à chaleur.
          
Pour un fonctionnement récepteur pompe à chaleur :
           Le système est le fluide caloporteur qui circule en boucle fermée,
 $W > 0$ : l'énergie mécanique est fournie au système par un compresseur,
 $Q_c < 0$ : l'énergie thermique est fournie à la source chaude qui est la pièce que l'on souhaite chauffer,
 $Q_f > 0$ : l'énergie thermique est reçue de la source froide qui est le thermostat à basse température (air extérieur, aquifère...).
      
On donne ci-dessous le diagramme des échanges d'une machine thermique cyclique ditherme.
          Précisez le signe des échanges énergétiques ainsi que la nature du système et
          des divers milieux extérieurs pour un fonctionnement moteur.
          
Pour un fonctionnement moteur :
           Le système est le gaz contenu dans le cylindre pendant un cycle (système supposé fermé),
 $W < 0$ : l'énergie mécanique est fournie au milieu extérieur qui est le piston (ou la turbine),
 $Q_c > 0$ : l'énergie thermique est reçue de la source chaude qui est la réaction chimique (le système est supposé inerte),
 $Q_f < 0$ : l'énergie thermique résiduelle est fournie au milieu extérieur qui est l'atmosphère.
      
On donne ci-dessous le diagramme des échanges d'une machine thermique cyclique ditherme.
        Précisez le signe des échanges énergétiques ainsi que la nature du système et
        des divers milieux extérieurs pour un fonctionnement récepteur frigorifique.
        
Pour un fonctionnement récepteur frigorifique (ou de climatisation) :
         Le système est le fluide caloporteur qui circule en boucle fermée,
 $W > 0$ : l'énergie mécanique est fournie au système par un compresseur,
 $Q_c < 0$ : l'énergie thermique est fournie à la source chaude qui est la pièce dans laquelle se trouve la machine thermique,
 $Q_f > 0$ : l'énergie thermique est reçue de la source froide qui est le compartiment basse température.

Donner l'expression du rendement d'une machine thermique ditherme cyclique
        en fonctionnement moteur et retrouver l'expression de son rendement idéal de Carnot.  
Le rendement d'une machine thermique ditherme cyclique en fonctionnement moteur est :
        $$\eta = -\dfrac{W}{Q_c}$$
        Son rendement de Carnot est :
        $$\eta_\text{Carnot}=1-\frac{T_f}{T_c}$$      

Donner l'expression de l'efficacité d'une machine thermique ditherme cyclique
        en fonctionnement réceptrice frigorifique et retrouver l'expression de son efficacité idéale de Carnot.  
Le rendement d'une machine thermique ditherme cyclique en fonctionnement réceptrice frigorifique est :
        $$\eta = \dfrac{Q_f}{W}$$
        Son efficacité idéale de Carnot est :
        $$\eta_\text{Carnot}=\dfrac{T_f}{T_c-T_f}$$      

Donner l'expression de l'efficacité d'une machine thermique ditherme cyclique
        en fonctionnement réceptrice pompe à chaleur et retrouver l'expression de son efficacité idéale de Carnot.  
Le rendement d'une machine thermique ditherme cyclique en fonctionnement réceptrice pompe à chaleur est :
        $$\eta = -\dfrac{Q_c}{W}$$
        Son efficacité idéale de Carnot est :
        $$\eta_\text{Carnot}=\dfrac{T_c}{T_c-T_f}$$

Note :

Thermodynamique différentielle

Définir une transformation thermodynamique élémentaire (ou infinitésimale).  
On appelle transformation infinitésimale (ou élémentaire) toute transformation
          permettant à un système thermodynamique de passer d’un état d’équilibre $A$ décrit par
          les variables d’état $P_A$, $T_A$, $V_A$, $n_A$, ... à un nouvel état d’équilibre
          infiniment proche $A'$ décrit par les variables d’état $P_A+\text{d}P$, $T_A+\text{d}T$, $V_A+\text{d}V$, $n_A+\text{d}n$, ...      

On donne la fonction d'état énergie interne d'un gaz de Van der Walls :
        $$U=C_vT-\dfrac{na^2}{V}+\text{cste}$$
        où $a=\text{cste}$. Établir sa différentielle $\text{d}U$.  
Comme $U=U(T,n,V)$, il vient :
        $$\text{d}U=C_v\text{d}T-\dfrac{a^2}{V}\text{d}n+\dfrac{na^2}{V^2}\text{d}V$$      

Écrire le premier principe de la thermodynamique pour un système fermé en notations différentielles.  
En notations différentielles, le premier principe (avec $E_m=\text{cste}$) s'écrit :
        $$\text{d}U=\delta W_p + \delta W_{\neq p} + \delta Q$$
        où $\delta W_p$ est le travail élémentaire des forces de pression appliquées au système, $\delta W_{\neq p}$ celui des autres forces appliquées au système
        et $\delta Q$ l'énergie thermique élémentaire reçue par le système.

Rappeler l’expression du travail élémentaire des forces de pression.  
Le travail élémentaire des forces de pression s'écrit :
        $$\delta W_p=-P_\text{ext}\text{d} V$$
        avec $P_\text{ext}=P$ dans le cadre des transformations quasistatiques.      

Écrire le second principe de la thermodynamique pour un système fermé en notations différentielles.  
En notations différentielles, le second principe de la thermodynamique pour un système fermé s'écrit :
        $$\text{d}S = \delta S_\text{ec} + \delta S_\text{cr}$$
        avec $\delta S_\text{ec}=\frac{\delta Q}{T_\text{ext}}$, où $T_\text{ext}$ est
        la température du thermostat extérieur avec lequel l'échange $\delta Q$ est réalisé, et $\delta S_\text{cr}\geq 0$
        (nul si la transformation est réversible).      

Rappeler les lois de Joule et leurs conditions d’application.  
Les lois de Joule sont :
        $$\text{d}U=C_v\text{d}T\quad\text{ et }\quad\text{d}H=C_p\text{d}T$$ valables pour un gaz parfait.
        $$\text{d}U\simeq \text{d}H=C\text{d}T$$ valables pour une phase condensée.

Rappeler la définition de la fonction enthalpie libre $G$.  
La fonction d'état enthalpie libre est définie par :
        $$G=U+PV-TS=H-TS$$      

Pour quel type de transformation la fonction d'état $G$ est-elle un potentiel thermodynamique ?  
La fonction d'état $G$ est un potentiel thermodynamique pour les transformations monotherme, monobare et spontanée.      

Quelle inégalité vérifie la différentielle de $G$ lors d'une transformation monobare, monotherme et spontanée?  
Pour les transformations monobare, monotherme et spontanée, la fonction $G$ est un potentiel
        thermodynamique qui vérifie :
        $$\text{d}G=-T_\text{ext}\delta S_c\leq 0$$

Rappeler l’identité thermodynamique associée à la fonction énergie interne $U$ pour un système fermé à composition variable.  
La première identité thermodynamique s'écrit :
        $$\text{d}U=T\text{d}S-P\text{d}V+\sum_i \dfrac{\partial U}{\partial n_i}\text{d}n_i$$      

Rappeler l’identité thermodynamique associée à la fonction enthalpie $H$ pour un système fermé à composition variable.  
La seconde identité thermodynamique s'écrit :
        $$\text{d}H=T\text{d}S+V\text{d}P+\sum_i \dfrac{\partial H}{\partial n_i}\text{d}n_i$$      

Rappeler l’identité thermodynamique associée à la fonction énergie libre $G$ pour un système fermé à composition variable.  
La troisième identité thermodynamique s'écrit :
        $$\text{d}G=-S\text{d}T+V\text{d}P+\sum_i \dfrac{\partial G}{\partial n_i}\text{d}n_i$$

Note :

Changement d'état du corps pur

Définir ce qu'est une phase.  
On appelle phase un milieu dont les propriétés physico-chimiques, comme la masse
        volumique par exemple, varient de façon continue dans l’espace à l’échelle mésoscopique.      

Définir ce qu'est un changement d'état.  
On appelle changement d’état, ou transition de phase, la transformation
        thermodynamique conduisant tout ou partie du système thermodynamique à évoluer d’une phase
        à l’autre.      

Nommer les changements d'état suivants :
         $\ce{V -> S}$ ;
 $\ce{S -> L}$ ;
 $\ce{L -> V}$.

Les changements d'état demandés sont les suivants :
         $\ce{V -> S}$ : Condensation ;
 $\ce{S -> L}$ : Fusion ;
 $\ce{L -> V}$ : Vaporisation.

On donne le diagramme suivant sur lequel est tracée en rouge une isotherme, confondue avec
          l'isobare $P=1~\text{bar}$ dans la zone d'équilibre $\ce{L <=> V}$.

          Donner la valeur approximative
          de l'enthalpie massique de vaporisation de l'eau à cette température.
            
On lit sur le diagramme : $h_\text{V}\simeq 2700~\text{kJ.kg}^{-1}$ et $h_\text{L}\simeq 400~\text{kJ.kg}^{-1}$.
        On en déduit :
        $$\Delta_{\ce{L -> V}}h\simeq 2300~\text{kJ.kg}^{-1}$$      

On donne le diagramme suivant sur lequel est tracée en rouge une isotherme, confondue avec
        l'isobare $P=1~\text{bar}$ dans la zone d'équilibre $\ce{L <=> V}$.

        Donner la valeur approximative
        de l'enthropie massique de vaporisation de l'eau à cette température.
          
On lit sur le diagramme : $h_\text{V}\simeq 2700~\text{kJ.kg}^{-1}$ et $h_\text{L}\simeq 400~\text{kJ.kg}^{-1}$.
        À $P=1~\text{bar}$, l'eau change d'état pour la température $T_{\ce{L -> V}}=373~\text{K}$.
        On en déduit :
        
          $$\Delta_{\ce{L -> V}}s=\dfrac{\Delta_{\ce{L -> V}}h}{T_{\ce{L -> V}}}\simeq 6150~\text{J.kg}^{-1}\text{.K}^{-1}$$
        
Quelle est la valeur de la variance $V$ sur la courbe d'équilibre $\ce{L <=> V}$ du
        diagramme $(P,T)$ d'un corps pur?  
Sur la courbe d'équilibre $\ce{L <=> V}$ du diagramme $(P,T)$ d'un corps pur, on peut dénombrer 2 constituants,
        les facteurs d'équilibre $P$ et $T$, l'équation d'équilibre $\ce{L <=> V}$, ainsi que deux phases distinctes.
        On en déduit :
        $$V=2+2-1-2=1$$

Quelle est la valeur de la variance $V$ au point triple du diagramme $(P,T)$ d'un corps pur?  
Au point triple du diagramme $(P,T)$ d'un corps pur, on peut dénombrer 3 constituants,
          les facteurs d'équilibre $P$ et $T$, les équations d'équilibre $\ce{L <=> V}$ et $\ce{L <=> S}$ par exemple,
          ainsi que deux trois phases distinctes.
          On en déduit :
          $$V=3+2-2-3=0$$      

On donne l’équilibre de changement d’état $\ce{A_{(g)} –> A_{(l)}}$ où l'espèce $\ce{A}$ est un corps pur.
        Rappeler l’expression de $\text{d}G$ faisant intervenir $\mu_{(g)}$ et $\mu_{(l)}$.  
Un changement d'état de corps pur est isotherme et isobare et l'identité thermodynamique s'écrit :
        $$\text{d}G=(\mu_{(l)}-\mu_{(g)})\text{d}\xi$$      

On donne l’équilibre de changement d’état du corps pur $\ce{A}$ suivant :
        $\ce{A_{(g)} –> A_{(l)}}$. Quel est le signe de $\text{d}G$ lors d’une évolution spontanée de cet équilibre ?  
La fonction enthalpie libre $G$ est un potentiel thermodynamique pour les transformations isotherme et isobare.
        On en déduit :
        $$\text{d} G\leq 0$$

Quel lien y a-t-il entre l’enthalpie de changement d’état et l’entropie de changement d’état pour une vaporisation de corps pur?  
L’enthalpie de changement d’état et l’entropie de changement d’état sont liés par :
        $$\Delta_\text{vap}S=\dfrac{\Delta_\text{vap}H}{T_\text{vap}}$$      

Rappeler la règle des moments en fraction massique de gaz pour une grandeur extensive et additive $Z$.  
En notant $x$ la fraction massique de gaz, il vient :
        $$x=\dfrac{z-z_l}{z_g-z_l}$$
        où $z=\dfrac{Z}{m}$ est la grandeur massique associée à $Z$, $z_l$ (resp. $z_g$) est la grandeur massique de la phase liquide (resp. gazeuse).      

Rappeler l’allure d’un diagramme de Clapeyron en y faisant figurer la courbe de saturation et une isotherme.  
Le diagramme de Clapeyron est :

Rappeler l’allure d’un diagramme entropique en y faisant figurer la courbe de saturation et une isobare.

Le diagramme entropique est :

Rappeler l’allure d’un diagramme des frigoriste en y faisant figurer la courbe de saturation et une isotherme.

Le diagramme des frigoristes est :

Note :

Diffusion thermique

Qu'est-ce que l'équilibre thermodynamique local?  
On appelle équilibre thermodynamique local, un équilibre thermodynamique
      réalisé à l’échelle mésoscopique, sans pour autant être réalisé à l’échelle macroscopique.
      Cette condition nécessaire permet d'appliquer localement les principes de la thermodynamique.      

Définir le vecteur densité de flux thermique.  
Le vecteur densité de flux thermique est :
        $$\delta \Phi=\vec{j}_\text{th}\cdot\vec{\text{d}S}$$
        où $\delta \Phi$ est la puissance élémentaire transmise à travers la surface $\text{d}S$.      

Comment est orienté le vecteur densité de flux thermique $\vec{j}_\phi$?  
Le vecteur densité de flux thermique $\vec{j}_\phi$ est orienté des zones de température
      élevée vers les zones de température plus faible.

Rappeler la loi Fourier et ses conditions d’application.  
La loi empirique de Fourier est :
        $$\vec{j}_\text{th}=-\lambda\vec{\text{grad}}T$$
        Elle s'applique pour de faibles gradients de température.      

Donner un ordre de grandeur de la conductivité thermique du verre.  
Pour le verre :
        $$\lambda_\text{verre}\simeq 1~\text{W}.\text{m}^{-1}.\text{K}^{-1}$$      

Rappeler l’expression de l’équation de bilan enthalpique unidimensionnelle, sans terme source,
        en coordonnées cartésiennes.  
En géométrie unidimensionnelle cartésienne, l’équation de bilan enthalpique est :
              $$\mu c_p\dfrac{\partial T}{\partial t}=-\dfrac{\partial j_\phi}{\partial x}$$

Rappeler l’expression de l’équation de la chaleur unidimensionnelle sans terme source en coordonnées cartésiennes.  
En géométrie unidimensionnelle cartésienne, l'équation de la chaleur est :
        $$\mu c_p\dfrac{\partial T}{\partial t}=\lambda\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$      

Rappeler l'expression généralisée du bilan enthalpique, sans terme source.  
L'équation de bilan enthalpique généralisée, sans terme source est :
      $$\mu c_p\dfrac{\partial T}{\partial t}=-\text{div}\vec{j}_\phi$$      

Rappeler l'expression généralisée de l'équation de la chaleur, sans terme source.  
L'équation de la chaleur généralisée, sans terme source est :
      $$\mu c_p\dfrac{\partial T}{\partial t}=\lambda\Delta T$$ où $\Delta$ est l'opérateur laplacien

Donner l’expression du temps caractéristique $\tau$ de diffusion thermique pour un mur de
        conductivité thermique $\lambda$, de masse volumique $\mu$, de capacité thermique massique
        $c_p$, de surface $S$ et d’épaisseur $e$.  
Le temps caractéristique de diffusion thermique peut s'écrire :
        $$\tau=\dfrac{\mu c_p e^2}{\lambda}$$      

Un mur d’épaisseur $e$ est soumis sur chacune de ses faces à un thermostat de
        températures respectives $T_1$ et $T_2$. Donner l’expression du profil de température au
        sein du mur en régime permanent.  
Le profil de température est le suivant :
        $$T(x)=\dfrac{T_2-T_1}{e}x+T_1$$      

Un mur d’épaisseur $e$ est soumis sur chacune de ses faces à un thermostat de températures
        respectives $T_1$ et $T_2$. Donner l’expression du flux thermique qui le traverse en régime
        permanent.  
Le flux thermique qui le traverse est :
        $$\Phi=\iint_S \vec{j}_\text{th}\cdot\vec{\text{d}S}=\lambda \dfrac{T_2-T_1}{e} S$$
        au signe près qui dépend de l'orientation choisie de la surface à travers laquelle le flux est calculé.

Rappeler la définition de la résistance thermique.  
En réigme permanent, ou ARQS thermique, la résistance thermique s'écrit :
        $$R_\text{th}=\dfrac{T_+ - T_-}{\Phi_{+\to -}}$$      

Rappeler l’expression de la résistance thermique pour un mur unidimensionnel cartésien de
        surface $S$, d’épaisseur $e$, de conductivité thermique $\lambda$, de masse volumique $\mu$,
        de capacité thermique massique $c$.  
La résistance thermique de ce type de mur est :
        $$R_\text{th}=\dfrac{e}{\lambda S}$$      

Soit deux murs unidimensionnels de résistance thermique respective $R_1$ et $R_2$.
        Un même flux thermique les traverse, quelle est la résistance thermique équivalente ?  
Les murs, traversés par le même flux themrique, sont en série et :
        $$R_\text{eq}=R_1+R_2$$

Soit deux murs unidimensionnels de résistance thermique respective $R_1$ et $R_2$.
        Une même différentiel de température leur est appliquée, quelle est la résistance thermique équivalente ?  
Les murs, soumis au même écart de température, sont en parallèle et :
        $$\dfrac{1}{R_\text{eq}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$$      

On donne la loi de Newton qui modélise les échanges convectifs entre la paroi du système et le milieu
        extérieur: $\mathcal{P}= hS(T − T_\infty)$ où $T_\infty$ est la température
        du milieu extérieur et $T$ la température de la paroi du système étudié.
        La puissance donnée est-elle reçue ou fournie par le système étudié ?  
Si $T_\infty>T$ le système étudié doit recevoir de l'énergie thermique, le modèle doit donner une puissance positive.
        Ici, dans ce même cas de figure, la puissance $\mathcal{P} < 0$, cette puissance est donc fournie par le système thermodynamique.      

On donne la loi de Newton qui modélise les échanges convectifs entre la paroi du système et le milieu
        extérieur: $\mathcal{P}= hS(T − T_\infty)$ où $T_\infty$ est la température
        du milieu extérieur et $T$ la température de la paroi du système étudié.
        Quelle est l’unité de $h$ ?  
Le coefficient empirique $h$ s'exprime en $\text{W}.\text{m}^{-2}.\text{K}^{-1}$.

Note :

Thermodynamique des systèmes ouverts

Écrire le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert (PPTSO).  
En régime permanent, un système thermodynamique ouvert obéit au premier
        principe de la thermodynamique en système ouvert :
        $$ D_m \left[e_c+e_p+h\right]_\text{entrée}^\text{sortie}=\mathcal{P}_i + \mathcal{P}_\text{th}$$
        où $D_m$ est le débit massique en $[\text{kg.s}^{-1}]$; $e_c=\frac{1}{2}v^2$
        est l'énergie cinétique massique, $e_p=gz$ l'énergie potentielle massique,
        $h$ l'enthalpie massique, exprimées en $[\text{J.kg}^{-1}]$; et $\mathcal{P}_i$
        est la puissance indiquée, $\mathcal{P}_\text{th}$ la puissance thermique
        exprimées en $[\text{W}]$.

        On l'écrit également sous la forme :
        $$ \left[e_c+e_p+h\right]_\text{entrée}^\text{sortie}=w_i + q_\text{th}$$
        où $w_i$ est le travail massique indiqué et $q_\text{th}$ l'énergie thermique massique
        exprimés en $[\text{J.kg}^{-1}]$.      

Écrire le second principe de la thermodynamique pour un système ouvert (SPTSO).  
En régime permanent, un système thermodynamique ouvert obéit au second
        principe de la thermodynamique en système ouvert :
        $$ \left[{s}\right]_\text{entrée}^\text{sortie}=\delta s_\text{ec} + \delta s_\text{cr}$$
        où $s$ est l'entropie massique, $\delta s_\text{ec}=\frac{q_\text{th}}{T_\text{th}}$
        l'entropie échangée massique avec le thermostat à température $T_\text{th}$,
        et $\delta s_\text{cr}>0$ est l'entropie créée massique en $[\text{J.K}^{-1}\text{.kg}^{-1}]$.      

Comment s'écrit la conservation du débit massique pour un système à plusieurs entrées et sorties?  
Dans un système thermodynamique à plusieurs entrées et/ou sorties,
        la conservation du débit massique s'écrit :
        $$\sum_i \varepsilon_i D_{m_i}=0\text{ où } \varepsilon_i=
        \left\lbrace\begin{array}{l}
          +1 \text{ si i est une entrée} \\
          -1 \text{ si i est une sortie}
        \end{array}\right.$$

Comment s'écrit le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert (PPTSO) à plusieurs entrées et sorties?  
Dans un système thermodynamique à plusieurs entrées et/ou sorties, le premier principe de la thermodynamique s'écrit :
        
          $$\sum_i \varepsilon_i D_{m_i} \left(e_{c_i}+e_{p_i}+h_i\right)=\mathcal{P}_i + \mathcal{P}_\text{th}\text{ où } \varepsilon_i=
          \left\lbrace\begin{array}{l}
            +1 \text{ si i est une entrée} \\
            -1 \text{ si i est une sortie}
          \end{array}\right.$$
        
Qu'est-ce-qu'un détendeur, quelle(s) simplification(s) usuelle(s) peut-on apporter au PPTSO pour ce composant élémentaire? En déduire une expression simplifiée du PPTSO.  
On appelle détendeur, tout appareil ou mécanisme permettant de faire
        passer un fluide stocké à une certaine pression, vers une pression inférieure.

        Les simplifications usuelles sont :
           $\Delta e_p\simeq \Delta e_c\simeq 0$ car ces variations sont nulles,
 $w_i=0$ car il n'y a pas de pièces mobiles, 
 $q_\text{th}=0$ car il est calorifugé.

        Le PPTSO devient, sous ces hypothèses :
        $$\Delta h=0$$      

Qu'est-ce-qu'un compresseur, quelle(s) simplification(s) usuelle(s) peut-on apporter
        au PPTSO pour ce composant élémentaire? En déduire une expression simplifiée du PPTSO.  
On appelle compresseur, tout dispositif rotatif destiné à augmenter
        par un procédé mécanique la pression d'un gaz. Le travail utile reçu
        par le fluide traversant le système ouvert compresseur est positif,
        c'est donc un récepteur : $w_i>0$ et $\mathcal{P}_i>0$.

        Les simplifications usuelles sont :
           $\Delta e_p\simeq \Delta e_c\simeq 0$ car ces variations sont négligeables,
 $q_\text{th}=0$ car il est calorifugé.

        Le PPTSO devient, sous ces hypothèses :
        $$ \left[ h \right]_\text{entrée}^\text{sortie}=w_i$$

Qu'est-ce-qu'une turbine, quelle(s) simplification(s) usuelle(s) peut-on apporter au PPTSO pour ce composant élémentaire? En déduire une expression simplifiée du PPTSO.  
On appelle turbine, tout dispositif rotatif destiné à utiliser
        la pression d'un gaz pour un procédé mécanique. Le travail utile reçu
        par le fluide traversant le système ouvert turbine est négatif,
        c'est donc un moteur : $w_i<0$ et $\mathcal{P}_i<0$.

        Les simplifications usuelles sont :
           $\Delta e_p\simeq \Delta e_c\simeq 0$ car ces variations sont négligeables,
 $q_\text{th}=0$ car il est calorifugé.

        Le PPTSO devient, sous ces hypothèses :
        $$ \left[ h \right]_\text{entrée}^\text{sortie}=w_i$$      

Qu'est-ce-qu'une tuyère, quelle(s) simplification(s) usuelle(s) peut-on apporter au PPTSO pour ce composant élémentaire? En déduire une expression simplifiée du PPTSO.  
On appelle tuyère, tout conduit de section droite variable placé à
        l'arrière d'un moteur produisant des gaz de combustion chauds qui permet
        de transformer l'énergie thermique de ceux-ci en énergie cinétique.

        Les simplifications usuelles sont :
           $\Delta e_p\simeq 0$ car ses variations sont négligeables,
 $w_i=0$ car il n'y a pas de pièces mobiles,
 $q_\text{th}=0$ car il est calorifugé.

        Le PPTSO devient, sous ces hypothèses :
        $$ \left[ h + e_c \right]_\text{entrée}^\text{sortie}=0$$      

Qu'est-ce-qu'un échangeur thermique, quelle(s) simplification(s) usuelle(s) peut-on apporter au PPTSO pour ce composant élémentaire? En déduire une expression simplifiée du PPTSO.  
On appelle échangeur thermique calorifugé, tout dispositif permettant
        de transférer de l'énergie thermique d'un fluide vers un autre, sans les mélanger. 

        Les simplifications usuelles sont :
           $\Delta e_p\simeq\Delta e_c\simeq 0$ car ses variations sont négligeables,
 $w_i=0$ pour chaque circulation de fluide car il n'y a pas de pièces mobiles,
 $\mathcal{P}_\text{th, 1}+\mathcal{P}_\text{th, 2}=0$ car l'ensemble de l'échangeur est calorifugé.

        Le PPTSO devient, sous ces hypothèses :
        $$ D_{m,1} \left[ h \right]_\text{entrée 1}^\text{sortie 1}+
        D_{m,2} \left[ h \right]_\text{entrée 2}^\text{sortie 2}= 0 $$

Qu'est-ce-qu'un séparateur isobare, quelle(s) simplification(s) usuelle(s) peut-on apporter au PPTSO pour ce composant élémentaire? En déduire une expression simplifiée du PPTSO.  
On appelle séparateur isobare, tout système ouvert à 3 accès comportant :
         une entrée de mélange liquide-vapeur dans les conditions de changement d'état ($p_\text{sat}$, $T_\text{eb}$),
 une sortie de liquide saturant dans les conditions du point d'ébullition ($p_\text{sat}$, $T_\text{eb}$),
 une sortie de vapeur saturante dans les conditions du point de rosée ($p_\text{sat}$, $T_\text{eb}$). 

        Les simplifications usuelles sont :
           $\Delta e_p\simeq\Delta e_c\simeq 0$ car ses variations sont négligeables,
 $w_i=0$ car il n'y a pas de pièces mobiles,
 $q_\text{th}=0$ pour l'ensemble du séparateur car il est calorifugé.

        Le PPTSO devient, sous ces hypothèses :
        $$h_\text{entrée} = x_V h_V(p_\text{sat}) + (1-x_V) h_L(p_\text{sat})$$
        où $h_V(p_\text{sat})$ (resp. $h_L(p_\text{sat})$) est l'enthalpie massique
        de la phase vapeur saturante (resp. liquide saturant) à $P=p_\text{sat}$ et $x_V$
        la fraction massique du gaz mesurée à l'entrée.      

Qu'est-ce-qu'un mélangeur isobare, quelle(s) simplification(s) usuelle(s) peut-on apporter au PPTSO pour ce composant élémentaire? En déduire une expression simplifiée du PPTSO.  
On appelle mélangeur isobare, tout système ouvert à 3 accès comportant :
         une entrée de liquide saturant dans les conditions du point d'ébullition ($p_\text{sat}$, $T_\text{eb}$),
 une entrée de vapeur saturante dans les conditions du point de rosée ($p_\text{sat}$, $T_\text{eb}$), 
 une sortie de mélange liquide-vapeur dans les conditions de changement d'état ($p_\text{sat}$, $T_\text{eb}$).

        Les simplifications usuelles sont :
           $\Delta e_p\simeq\Delta e_c\simeq 0$ car ses variations sont négligeables,
 $w_i=0$ car il n'y a pas de pièces mobiles,
 $q_\text{th}=0$ pour l'ensemble du mélangeur car il est calorifugé.

        Le PPTSO devient, sous ces hypothèses :
        $$h_\text{sortie} = x_V h_V(p_\text{sat}) + (1-x_V) h_L(p_\text{sat})$$
        où $h_V(p_\text{sat})$ (resp. $h_L(p_\text{sat})$) est l'enthalpie massique
        de la phase vapeur saturante (resp. liquide saturant) à $P=p_\text{sat}$ et $x_V$
        la fraction massique du gaz mesurée à l'entrée.      

Qu'est-ce que le COP d'un système frigorifique?  
On appelle COefficient de Performance, ou efficacité, d'un système frigorifique,
        la grandeur sans dimension :
        $$\text{COP}=e=\dfrac{\text{but}}{\text{coût}}=\dfrac{\mathcal{P}_\text{th, f}}{\mathcal{P}_i}$$

Qu'est-ce que le COP d'une pompe à chaleur?

On appelle COefficient de Performance, ou efficacité, d'une pompe à chaleur, la grandeur sans dimension : $$\text{COP}=e=\dfrac{\text{but}}{\text{coût}}=\dfrac{\mathcal{P}_\text{th, c}}{\mathcal{P}_i}$$

Qu'est-ce que le COP d'un moteur?

On appelle COefficient de Performance, ou rendement, d'un moteur, la grandeur sans dimension : $$\text{COP}=\eta=\dfrac{\text{but}}{\text{coût}}=\dfrac{\mathcal{P}_\text{i, net}}{\mathcal{P}_\text{th, c}}$$

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Diffusion thermique

Thermodynamique des systèmes ouverts